Erstes Kapitel. 
Häufungswerte und Grenzwerte. 
8 1. Der Zahlbegriff. 
Schon im 5. Jahrhundert v. Chr. hat der Zahlbegriff diejenige Er- 
Weiterung erfahren, die auch heute noch die Grundlage der Infini 
tesimalrechnung bildet. 
Wir wissen es nicht genau, ob Pythagoras selbst oder einer seiner 
Schüler die Entdeckung machte, daß sich die rationalen Zahlen, d. h. 
die ganzen Zahlen und Brüche, bei der Lösung gewisser Aufgaben 
als unzulänglich erweisen. So ist es z.B. unmöglich, die Diagonale eines 
Quadrats von der Seite 1 durch eine Rationalzahl auszudrücken. Es 
gibt mit andern Worten kein Maß, das in der Seite des Quadrats 
und zugleich iu der Diagonale aufgeht. Seite und Diagonale des 
Quadrats sind, wie man zu sagen pflegt, inkommensurabel. 
Man kann sich denken, welche Verlegenheit die Entdeckung solcher 
Jnkommensurabilitäten den Pythagorcern bereiten mußte. Lautete doch 
eine ihrer Hauptthesen: Die Dinge sind Zahlen, d. h. man kann 
alles durch Zahlen ausdrücken. Hierzu bildete die Diagonale des Qua 
drats nlit der Seite 1 eine schlagende Gegeninstanz, solange man nur 
die rationalen Zahlen hatte. Wollte man die These retten, so mußte 
man notgedrungen zur Einführung irrationaler Zahlen schreiten. 
Eudoxos, ein Zeitgenosse Platons, gab als erster eine wissen 
schaftlich befriedigende Theorie der Irrationalzahlen (4. Jahrhundert 
v. Chr.). Als solche dürfen wir seine Proportionenlehre auffassen, die 
man im 5. Buche von Euklids Elementen (um 300 v. Chr.) dar 
gestellt findet. Eudoxos geht im Grunde genommen von demselben 
Gedanken aus, den in neuerer Zeit (1872) Dedekind zur scharfen 
Erfassung des Irrationalen verwendet hat. Die Irrationalzahl wird 
definiert durch eine Einteilung der Rationalzahlen in eine Klasse der 
größeren (obere Klasse) und eine Klasse der kleineren (untere Klasse). 
So oft eine solche Einteilung der Rationalzahlen, ein sogenannter 
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