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I. Häufungswerte und Grenzwerte 
—T 
alle Punkte die nicht in das Intervall Q' Q" fallen, so bleibt noch 
eine Punktfolge übrig (nicht etwa nur eine endliche Anzahl von Punktend, 
und dies gilt immer, wie klein auch das Intervall Q' Q" gewählt 
sein mag. 
Es ist von großer Wichtigkeit, daß der Lesersich denBegriffHäufungs- 
stelle völlig klar macht, weil dieser Begriff für das folgende grund 
legend ist. Wir wollen deshalb noch etwas bei diesem Begriff ver 
weilen und uns überlegen, was wir von einem Punkt Q sagen können, 
wenn er keine Häufungsstelle der Punktfolge P,, P,, P s . ... ist. Dann 
wird es also nicht in jeder Umgebung unendlich viele Punkte der 
Folge geben, vielmehr wird sich das Intervall Q' Q" in Fig.4so wählen 
lassen, daß darin nur endlich viele Punkte der Folge enthalten sind, 
wieviele es auch sein mögen. 
Es ist wichtig zu bemerken, daß die obige Definition einer Häufungs 
stelle nichts darüber sagt, ob diele Stelle selbst der betrachteten Punkt- 
folge angehört oder nicht. Das bleibt völlig dahingestellt. Es gibt Häu 
fungsstellen, die ihrer Punktfolge angehören und solche, die es nicht 
tun. Wir werden das sogleich an Beispielen sehen. 
Als erstes Beispiel diene die Folge 
4 1 
3 ' 3 ' 
3 
t 4 ' 4 t 3 ' 5 f 5 ' 4 1 
Ihr Bildungsgesetz ist ohne weiteres erkennbar. Diese Folge hat die 
Häusungsstellen 0 und 1. Der Leser wird das sofort erkennen, wenn 
er sich auf der Zahlenlinie die Punkte |, g, {, f * 5, 4, • • • 
sowie die Punkte 0 und 1 markiert denkt l ) (Fig. 5\ In jeder Um 
gebung der Stelle 0 liegen unendlichviele von den Punkten ^..., 
-—»- in jeder Umgebung der 
-4—«- 
t 
Stelle 1 unendlichviele von 
t o 0 'i ! t a z den Punkten |, f, 4, 
Fig. 5. also unendlich 
viele Glieder der Folge. Die beiden Häufungsstellen 0 und 1 sind hier 
nicht in der Folge enthalten. 
Die Folge 0, 
2 3 x 
3 t 2 ' 4 ' 
,4 14 5. 
3 r 5 ' 5 ’ 4 ' 
die aus der soeben betrachteten durch Vorsetzen der 0 entsteht, hat 
ebenfalls die beiden Häufungsstellen 0 und 1. Die 0 gehört hier der 
Folge an, die 1 aber nicht. 
1) Der Punkt x ist der Punkt mit der Abszisse x.