Zahlenfolgen und ihre Häufungswerte. Satz von Weierstraßj 13 
Die Folge 0, 1, -J-, t> h • • • 
enthält ihre beiden Häufungsstellen O und 1. 
Wir wollen noch auf erneu Unterschied hinweisen, der bei diesen 
Beifprelen zwischen den Häufungsstellen 0 und 1 besteht. 0 ist sozu 
sagen eine ern s ertr g e Häufungsfielle. In jeder Umgebung von O grbt es 
unendüchviele Punüe der Folge, aber nur rechts von O. Dagegen 
rst 1 eine zweiseitige Häufungsstelle, weil in jeder Umgebung von 1 
sowohl rechts als auch links unendüchviele Punkte der Folge üegen. 
Wenn man ausdrücklich von Zahlenfolgen spricht, sagt man statt 
„Häufungsstelle" gewöhnlich „Hausungswert" 0 und 1 find also 
Haufungswerte der obrgen Zahlenfolgen. 
§ 4. Satz von Weierstraß. 
Es gibt Zahlenfolgen, die keinen Häufungswert besitzen. Eine solcheist 
z. B. dre Folge 1, 2, 3, Aus der Zaytenlrnie rst keine Stelle vor- 
Handen, von der man sagen kann, daß in jeder Umgebung von ihr un- 
endlichvrele Punkte der Folge 1, 2, 3, ... enthalten find; denn in 
jedes Intervall fallen offenbar nur endlichviele von drefen Punkten 
oder überhaupt keiner. 
Wir werden jetzt eine Klaffe von Zahlenfolgen kennen lernen, bei 
denen man sicher fern kann, daß es wenrgstens einen Häufungswert 
gibt. Es sind das dre beschränkten Zahlenfolgen. Eine Zahlenfolge 
u x , Nz, w3, ••• heißt beschränkt, wenn sich auf der Zahlenlrnie eine 
Strecke abgrenzen läßt, die die sämtlichen Punkte u lt u 2 , u 3l ... ent 
hält. Wollen wrr uns nrcht geometrisch ausdrücken, so können wir sagen: 
u v u 2 , u z , • • • ist eine beschränkte Zahlenfolge, wenn es zwei Zah 
len a und b gibt, zwischen denen alle Glieder der Folge enthalten sind, 
so daß also für n = 1, 2, 3, . .. die Ungleichungen a <u n <b statt 
finden. Man nennt den Inbegriff aller Zahlen, die zwischen a und h 
liegen, das Intervall (a, b). Eine beschränkte Zahlenfolge läßt sich 
also ganz in ein Intervall (a, b) einschließen. 
Beschränkt ist z. B. die Zahlenfolge i, f, i. j, f, •. . • Sie 
ist ganz in deni Intervall (0, l) enthalten. Dagegen ist die Zahlen 
folge 1, 2, 3, . . . nicht beschränkt, weil es kein Intervall (a, b) gibt, 
das alle ihre Glieder umfaßt. 
Über die beschränkten Zahlenfolgen gilt nun der folgende Satz von 
Weierstraß: Eine beschränkte Zahlenfolge hat wenigstens einen 
Häufungswert.