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I. Häufungswerte und Grenzwerte
während doch ein Häufungswert für solche Umgebung unendlichviele
Glieder verlangt. Damit ist bewiesen, daß es außer u keinen anderen
Häufungswert gibt. Der Grenzwert ist ein Monarch, der keinen anderen
Häufungswert neben sich duldet.
Wir wissen jetzt, daß konvergente Zahlenfolgen und beschränkte Zah
lenfolgen mit einem einzigen Häufungswert ein und dasselbe sind.
Zum Schluß wollen wir über die konvergenten Zahlenfolgen noch
einige einfache aber doch sehr wichtige Bemerkungen machen, von deren
Richtigkeit sich der Leser selbst überzeugen möge. Wir geben jedesmal
eine Andeutung, wie der Beweis geführt wird.
1. Hat eine Folge den Grenzwert u, so hat auch jede Teil
folge von ihr den Grenzwert u.
Was von fast allen Gliedern der Folge gilt, gilt nämlich auch von
fast allen Gliedern der Teitfolge.
2. Hat die Folge u x , u 2f u 3 , ... den Grenzwert u, so gilt
dasselbe von der Folge a lt a 2 , .a p , u x , u 2 , u 3l Man darf
also beliebige Glieder in endlicher Anzahl hinzusetzen; die Folge
hat nach wre vor den Grenzwert u.
Fast alle Glieder der alten Folge sind auch fast alle Glieder der
neuen Folge.
3. Hat die Folge u x , u 2 , u 3l ... den Grenzwert u, so gilt
dasselbe von der Folge
u Xl u if • • • f , Mg, u 2 , . . • , Mg, u 3 , - - -, u 3 f ....
^i-mal ^2-mal Fg-mal
Sie entsteht aus u x , u„, u 3 , ... dadurch, daß man sich jedes Glied
dieser Folge eine endliche Anzahl von Malen aufgeschrieben denkt.
Wenn wir um u irgendeine Umgebung konstruieren, so gibt es in
der alten Folge nur eine endliche Anzahl von Ausnahmegliedern, die
nicht in dieser Umgebung liegen. Jedes von ihnen tritt in der neuen
Folge eine endliche Anzahl von Malen auf. Die Anzahl der Aus
nahmeglieder bleibt also endlich.
4. Eine konvergente Folge bleibt konvergent und behält
denselbenGrenzwert, wenn man aus ihr durch Umrangieren
der Glieder eine neue Folge bildet.
Die Aussage „In jeder Umgebung von u liegen fast alle Glieder
der Folge" ist offenbar ganz unabhängig von der Anordnung der
Glieder.
