Konvergente Zahlenfolgen. Monotone Zahlenfolgen 
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5. Haben die Folgen u lf u 2f u s , . .. und v lf v 2 , v 3 , ... beide 
denselben Grenzwert g, so hat auch die aus ihnen zusam in en 
gesetzte Folge u lt v lt Nz, v 2 , n 3 , v 3 , . .. den Grenzwert g. 
In jeder Umgebung von g liegen fast alle u n und fast alle v n , 
d. h. fast alle Glieder der zusammengesetzten Folge. 
6. Haben die Folgen u lf « 2 , u 3 , ... und v it v. 2l v 3 , ... beide 
denselben Grenzwert g und liegt tv n immer zwischen u n und 
v n , so hat auch, die Folge u\, w 2 , w 3 , . .. den Grenzwert g. 
Wenn nämlich in jeder Umgebung von g fast alle u n und fast alle 
v n liegen, so sind darin auch fast alle w n enthalten. 
7. Sind alle Glieder einer Folge gleich u, so ist u ihr 
Grenzwert, d. h. die Folge u, w, u, ... hat den Grenzwert u. 
8 6. Monotone Zahlenfolgen. 
Eine Folge u lf u 2 , u 3 , ... heißt aufsteigend, wenn 
u i ^ W 2 ^ u s ^ • • • f 
lvenn also kein Glied größer ist als das folgende. Sie heißt abstei 
gend, wenn u^u^u^..., 
wenn also kein Glied kleiner ist als das folgende. Beide Arten von 
Folgen bezeichnet man als monotone Folgen. 
Es genügt, wenn wir uns mit den aufsteigenden Folgen beschäftigen. 
Bei den absteigenden Folgen geht es genau entsprechend. u lf u 2l u 3 ,... 
sei also eine aufsteigende Folge. Offenbar sind dann zwei Fälle möglich: 
1. Es gibt eine Zahl U, die von keinem Gliede der Folge über 
troffen wird. 
2. Es gibt keine solche Zahl. 
Im ersten Falle ist die Folge beschränkt, weil alle ihre Glieder dem 
Intervall (u lf U) angehören. Nach dem Weierstraßschen Satze (vgl. 
§ 4) gibt es also einen Häufungswert u. Wäre nun irgend ein Glied 
der Folge, z. B. u vl größer als u, so ließe sich um u eine Umgebung I 
konstruieren, die u v und infolgedessen auch u v+i , u v+2 , ... nicht ent 
hält (Fig, 7). In I gäbe es also nur eine endliche Anzahl von Glie 
dern der Folge. Das widerspricht I 
aber dem Wesen eines Häufungs- , ,,—^—. 
wertes. Wir können demnach schlie- »' ' u ' \ \ +J 
ßen, daß u von keinem Gliede Fig.7. 
ANuG Kowalewski, Jnfinitestmalrechuung. S. Aufl. 2