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I. Häufungswerte und Grenzwerte 
derFolge übertroffen wird. Gäbe es noch einekleinereZahlu- 
die dieselbe Eigenschaft hat, so könnten wir I derart wählen, daß u' nicht 
darin enthalten ist. Dann läge aber in I überhaupt kein einziges u nl 
weil kein u n größer als u' fein sott. Das geht also nicht, und wir 
ersehen hieraus, das u die kleinsteZahlist, die von keinem Gliede 
der Folge übertroffen wird. Eine solche Zahl kann nur in einem. 
Exemplar existieren. Es kann daher außer u keinen anderen Häufungs- 
wert geben, und wir haben es also mit einer beschränkten Folge zu 
tun, die nur einen Häufungswert besitzt. Das ist aber eine konver 
gente Folge, und u ist ihr Grenzwert. 
Hiermit ist folgender Satz gewonnen: Eine aufsteigende (abstei 
gende) Zahlenfolge ist konvergent, wenn es eine Zahl gibt, die 
von keinem Gliede der Folge übertroffen (untertroffen- wird. Der 
Grenzwert ist die kleinste (größte) Zahl mit dieser Eigenschaft. 
Wir müssen jetzt noch den zweiten Fall besprechen. Da gibt es keine solche 
Zahl TJ wie im ersten Falle. Es wird vielmehr jede Zahl von irgend 
einem u v und um so mehr von u v+x , + 2 , u v f 3 , . übertroffen. 
Jede Zahl wird also von fast allen Gliedern der Folge übertroffen. 
In diesem Falle ist überhaupt kein Häufnngswert vorhanden, weil in 
jedem Intervall (a, b) nur eine endliche Anzahl von Gliedern der Folge 
enthalten ist; fast alle Glieder sind größer als h. 
Wenn eine Folge so beschaffen ist, daß jede Zahl — man mag sie 
so groß wählen, als man will — von fast allen Gliedern der Folge 
übertroffen wird, so sagt man, die Folge habe den nneigentlichen 
Grenzwert st- oo (plus Unendlich). Das gilt insbesondere von jeder 
anfsteigenden Zahlenfolge, die nicht beschränkt ist. 
Ist eine Folge so beschaffen, daß jede Zahl von fast allen Gliedern der 
Folge untertroffen wird, so sagt man, die Folge habe den un eigent 
lichen Grenzwert — co (minus Unendlich). Das gilt insbesondere 
von jeder absteigenden Zahlenfolge, die nicht beschränkt ist. 
Von einer monotonen Zahlenfolge können wir also folgendes sagen: 
Wenn sie beschränkt ist, hat sie einen eigentlichen Grenzwert; wenn 
sie unbeschränkt und aufsteigend ist, den uneigentlichen Grenzwert st- oo; 
wenn sie unbeschränkt und absteigend ist, den nneigentlichen Grenz 
wert — oo.