20 I. Häufungswerte und Grenzwerte 
4. Nur die erste oder nur die zweite Klasse enthält unendlichviele 
Glieder. Die Folge läßt sich auf die Form 
a lf a 2l a 3 , . . . bzw. b lf b 2 , b 3 , . . . bringen. . 
5. Nur die drittte Klasse enthält unendlichviele Glieder. Die Folge 
läßt sich auf die Form U/ u , u, ... bringen. 
Aus den drei Grundtypen 
a ii ct 2 / st 3 / - - - 
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M, u, 11, , . . 
ergeben sich die vier anderen durch Zusammensetzung. 
§8. Die Limesoperation. 
Wenn die Folge u x , u 2l u 3 ,. .. den Grenzwert u hat, so ist es zweck- 1 „ 
mäßig sich eine veränderliche Größe u zu denken, die die Folge durch 
läuft, d. h. zuerst gleich u x wird, dann den Wert u 2 annimmt, hierauf 
den Wert u 3 usw. Von einer solchen Veränderlichen sagt man, daß 
sie nach u konvergiert, nach dem Grenzwert u konvergiert, dem 
Grenzwert u zustrebt, und man schreibt: 
lim u — tt (limes u gleich u), 
lim es ist das lateinische Wort für Grenze oder Grenzwert. Diese 
Formel drückt also aus, daß u sukzessiv gewisse Werte u tl u 2 , v 3 , 
annimmt, die eine Folge mit dem Grenzwert u bilden. 
: In jeder Umgebung (u — s, it + e) von n sind, wir wir wissen i 
(vgl. § 5), fast alle u n enthalten, u kann also zuerst alle möglichen 
Sprünge auf der Zahlenlinie vollführen. Mit zunehmendem n wird < 
es aber schließlich so zahm, daß es nicht mehr aus dem Intervall S 
(u — k, u st- e) herausgeht. Hierbei ist s eine beliebig gewählte po 
sitive Zahl, und gerade darin liegt das Wesen der Limesbeziehung, 
daß u jeden verlangten Grad von Zahmheit schließlich erreicht und 
behält. xu 
Wir wollen uns einen Beobachter vorstellen, der imstande ist, zwei 
Punkte der Zahlenlinie, die um mehr als e voneinander entfernt sind, ü 
zu unterscheiden, während zwei Punkte, die eine kleinere Entfernung 
als £ haben, für ihn nicht mehr unterscheidbar sein sollen. Je kleiner 
der „Schwellenwert" c ist, desto genauer oder feiner arbeitet der Be- [