22 ' I. Häufungswerte und Grenzwerte 
woraus durch Addition folgt: 
— e < u n + v n < e. 
2. Satz 2. Aus lim ----- 0 folgt, wenn c eilte Konstante^) 
ist, lim (cw)------ 0, d. h. wenn w x , w 2 , w 3 , . . . eine Nullfvlge ist, so 
ist auch cw it cw 2l cw 3 , ... eine solche. 
Im Falle e ----- O trifft dies zu, weil die Folge dann überhaupt aus 
lauter Nullen besteht (§ 5, Nr. 7). Ist c von Null verschieden, so muß 
man folgendermaßen schließen. Fast alle iv n liegen zwischen —~ und 
, also fast alle cw n zwischen — e und L. 
Verallgemeinerung. Wenn h lt ä- 2 , 7e g , ... eine beschränkte Zahlen 
folge, also ganz in einem Intervall (cr, h) enthalten ist, so liegt h n w n 
zwischen aw n und bw u . Ist nun w x , w 2 , w 3 , .. . eine Nnllfolge, so 
sind nach dem obigen Satze auch aiv 1 , aw 2 , aiv 3 , . . . und bic\, bw 2 , 
b w 3 , ... Nullsolgen. Wir können hier nun die Bemerkung 6 aus § 5 
anwenden und schließen, daß auch h x w x , h 3 w 3 , . .. eine Null- 
folge ist. Damit haben wir folgende Verallgemeinerung des Satzes 2 
gewonnen: 
Satz 26. Wenn lim w = 0 ist und lc zwischen endlichen 
Grenzen bleibt 1 2 ), so ist auch lim (Jciv) ----- 0. 
3. Bemerkung. Die Aussagen lim ^ ----- u und lim (u — u) — 0 
sind gleichbedeutend, d. h. wenn die Folge u x , u 2/ u ä , .. . den 
Grenzwert u hat, so hat die Folge u t — u, u 2 — u, u 3 — u, ... den 
Grenzwert Null und umgekehrt. 
u — e < u n < u -f- £ 
folgt nämlich — £ < u n — ii < £ 
und umgekehrt. Auch lim ^ u und lim (u — m) = 0 sind gleich 
bedeutende Aussagen. 
4. Grenzwert einer Summe. Aus lim r, ----- u, lim v = o folgt 
lim (u -f- v) = u + v. Es ist mit andern Worten 
lim (u -f v) = lim u -f- lim v t 
d. h. der Grenzwert der Summe gleich der Summe der Grenz 
werte. 
1) Eine Konstante behält inimer denselben Wert. 
2) D. h. eine beschränkte Zahlenfolge durchläuft.