Haupisätze der Grenzwertrechnung 
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Nach der Bemerkung in Nr. 3 genügt es zu zeigen, daß 
lim (u 4- v — u — ö) == 0 ist. 
Aus lim (u — u) = 0, lim (v — ü) — 0 
folgt aber nach Satz 1 
lim (u — U + v — b) = lim (u + v — U — ü) ■=• 0. 
5. Grenzwert eines Produktes. Aus lim rr------u, lim v---v folgt 
lim (uv) ----- uv. Es ist mit andern Worten 
lim (u ■ v) — lim u • lim v, 
d. h. der Grenzwert des Produktes gleich dem Produkt der 
Grenzwerte. 
Es genügt zu zeigen, daß 
lim (uv — Uv) ----- 0 
ist. Nun kann man aber schreiben 
uv — iiö = u (v — ö) + ö (u — n). 
Aus lim (u — u) ----- 0 und lim (v — ö) = 0 folgt dann 
lim {u (v — v))----- 0, lim { ü (u — u)} ----- 0. 
Im zweiten Falle stützt man sich auf Satz 2, im ersten auf Satz 2*, 
wobei man benutzen muß, daß u zwischen endlichen Grenzen bleibt, 
weil es eine-konvergente Zahlenfolge durchläuft und eine solche stets 
beschränkt ist. 
Aus den beiden letzten Relationen ergibt sich weiter mit Hilfe des 
Satzes 1 lim {u (v — ü) —(— ü (u ■— n)} ----- lim (uv — uv) ----- 0. 
Wenn man v gleich einer Konstanten c setzt, so geht der obige Satz 
in folgenden über (vgl. § 5, Nr. 7): Aus limrt ---- u folgt, wenn 
c eine Konstante ist, lim(cu) = cu. Es ist mit andern Worten 
lim (cu) — c lim u. 
Insbesondere ist also lim (— u) ------ — lim Bereinigt man dieses 
Ergebnis mit Satz 1, so findet man, daß aus lim u ----- u, lim v ----- v 
folgt lim (v — u) = ö — u, daß also der Grenzwert der Diffe 
renz gleich der Differenz der Grenzwerte ist. Man hat in der 
Tat Um ( v — M ) ----- li m -y lim (— u) = lim v — lim u. 
6. Grenzwert eines Quotienten. Aus limw ----- u folgt, wenn 
u nicht gleich Null ist, lim (1 : u) ----- 1 : u.