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I. Häufungswerte und Grenzwerte 
In der Tat ist — (u — u), 
und man kann daher nach Satz 2* aus lim (u — u) = 0 folgern 
lim ( — (u — u) 1 — lim (— —) — 0. 
Unt v J \ \u u/ 
Nur muß man sich noch vergewissern, daß der Faktor 1 : mu zwischen 
endlichen Grenzen bleibt. Nehmen wir an, daß u beim Grenzüber 
gang die Folge u if u 2 , u 3 .. . . durchläuft*). Dann wäre zu zeigen, daß 
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MjU ' « 2 Ui M 3 U ' 
eine beschränkte Zahlenfolge ist. Nun liegen in jeder Umgebung von 
u fast alle u n , also z. B. auch zwischen \ u und f u. Fast alle Quo 
tienten 1 : u n \x werden daher in dem Intervall 
enthalten sein. Nur eine endliche Anzahl solcher Quotienten wird dies 
nicht tun. Daraus erkennt man, daß sie sich alle in ein Intervall 
(a, h) einschließen lassen. 
Ans lirntt ----- u, limi> ----- v folgt, wenn u nicht gleich Null ist, 
lim (v : u) = b : u. Es ist mit anderen Worten 
lim v 
lim u ’ 
lim ( —) — 
d. h. der Grenzwert des Quotienten gleich dem Quotienten 
der Grenzwerte, vorausgesetzt, daß der Grenzwert im Nenner von 
Null verschieden ist. Man hat in der Tat 
folglich nach Nr. 5 
lim (v • —) = lim (—) ----- — 
\ u) \wJ u 
7. Grenzwert eines absoluten Betrages. Aus limn --- u folgt 
lim|w| = jir. Es ist mit andern Worten 
lim \u\ = |limM[, 
1) Wir setzen voraus, daß alle u n von Null verschieden sind.