Hauptsätze der Grenzwertrechnung 
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d. f). der Grenzwert des absoluten Betrages gleich dem ab 
soluten Betrage des Grenzwerts. 
Mit j«| bezeichnet man nach Weierstraß den absoluten Betrag der 
Zahl a. Es ist also \a\ — a, wenn a |> 0, und \a \ = — a, wenn 
a < 0. 
u durchlaufe bei dem Grenzübergang die Folge u if u 2 , u 3l — Ist 
u > 0, so sind säst alle u n positiv, weil sie fast alle zwischen j u und 
| u liegen, und man hat daher fast immer \ u n \ ----- u n . Nach einer end 
lichen Anzahl von Streichungen sind also die Folgen |%!, |n 2 \, |m 3 j,... 
und u u u 2 , u 3 ,... identisch. Mithin haben (vgl. ß 5) beide den Grenz 
wert u ----- u . Im Falle u < 0 sind die Folgen | u i |, [ m 2 |, | u 3 1, ... 
und — u lf — n 2 , — u 3 , ... nach einer endlichen Anzahl von Strei 
chungen identisch. Mithin haben beide den Grenzwert — u ---- |itj. Es 
bleibt nur noch der Fall u ----- O übrig. In diesem Falle haben die 
Folgen u tl u 2 , m 3 , ... und — u x , — n 2 , — u 3 , ... beide den Grenz 
wert Null. Dasselbe gilt daher von der Folge u x , — u u m 2 , — m 2 , 
Mg, — Mg, ... (vgl. § 5). Hiervon ist \ u l \, \ u 2 1, | u 3 1, ... eine Teil 
folge. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge hat aber denselben 
Grenzwert wie diese (vgl. 8 5). 
8. Grenzübergang bei Ungleichungen. Ist lim M-----u, limv--v 
und gilt immer die Ungleichung u <1 v, so kann man schließen, daß 
u^v ist, d. h. ans m v folgt lim u lim v. Da v — u~^> 0 ist, 
so kann der Grenzwert von v — u unmöglich negativ sein. Um eine 
negative Zahl lassen sich nämlich Umgebungen konstruieren, die nur 
negative Zahlen Enthalten. Es ist also 
lim (y — M) ----- v — u 0. 
Insbesondere folgt aus u c (c eine Konstante) stets 
limM^e (vgl. § 5, Nr. 7), vorausgesetzt natürlich, daß lim u existiert. 
Zum Schluß sei noch bemerkt, daß die Sätze in Nr. 4 und 5 für 
jede endliche Anzahl vonSummanden bzw.Faktoren gelten. Jstz.B. 
lim u ----- U, lim v = v, lim w ---- w 
so hat man lim (m -f- v -f w) — li m {u -f- (y -j- w)} 
== lim u -f- lim (v -f w) — lim u -f- lim v -f- lim iv und 
lim (uvw) — lim | u • (yw)} — lim u • lim (yw) ----- lim u • lim v • lim w. 
Jnsb esondere ist 
lim (m 3 ) — (lim m) 3 , lim (m 4 ) ----- (lim m) 4 usw.