Differenzenquotient 
33 
Der Differenzenquotient hat eine einfache geometrische Bedeutung. 
In Fig. 9 ist die Bildkurve von fix) gezeichnet. Punb Q find die Kurven 
punkte, die den Werten x und x + h entsprechen. 
Die Sekante PQ bildet mit der positiven -r-Rich- 
T 
tung einen Winkel, der in der Figur mit <p bezeich- ^ ^ 
net ist. Pli ist nämlich parallel zur L-Achse gezogen. 
Betrachtet man nun das rechtwinklige Dreieck 
PBQ, so sieht man, daß 
Jy 
ist. tgcp pflegt man die Richtnngskonstante O 
i der Geraden PQ zu nennen. Es ist also der Differenzenquotient ( 
gleich der Richtungskonstanten der Sekante PQ. 
Man kann den Differenzenquotienten noch auf eine andere Weise 
deuten. Wir wollen x als die von einem bestimmten Anfang gerech 
nete Zeit betrachten und uns dann einen Punkt denken, der sich so auf 
der Zahlenlinie bewegt, daß er zur Zeit x immer mit dem Bildpunkt 
der Zahl s(x) zusammenfällt, also mit dem Punkt, der die Abzisse f{x) 
hat. Während des Zeitintervalls (x, x-\-li) ist er von f (z) nach f(x+h) 
gelangt. Hätte er sich während dieser Zeit gleichförmig bewegt, so 
wäre dazu die Geschwindigkeit (Weg durch Zeit) 
f{x + h) — f(x) 
h 
nötig gewesen. Diese Geschwindigkeit nennt man die mittlere Ge 
schwindigkeit des Punktes während des Zeitintervalls ([x, x //). 
Sie ist, wie man sieht, gleich dem Tifferenzenquotienten. 
§ 18. Die Ableitung bun/(»). 
Wir wollen jetzt h nach Null konvergieren lassen, h soll also irgend 
eine Folge h x , h. 2l ... mit dem Grenzwert Null durchlaufen'). Es 
kann sein, daß dabei der Differenzenquotient immer einem und dem 
selben Grenzwert g zustrebt, daß man also immer 
lim ü!L±v=m = ' i 
1) Alle h n müssen von Null verschieden sein. Es genügt übrigens mo 
notone Folgen zu betrachten (vgl. 8 7). 
ANuG 197: Kowalewski, Infinitesimalrechnung. 3. Ausl