II. Differentialrechnung 
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hat, wenn lim h — 0 ist. In diesem Falle sagt man, daß f{x) an der 
Stelle x eine Ableitung besitzt und diese Ableitung gleich g ist. 
Man bezeichnet die Ableitung, um ihre Beziehung zu y = f(x) 
hervortreten zu lassen, mit y' oder s (x), wohl auch mit Dy oder 
Df{x), wobei D an das Wort Derivierte (Ableitung) erinnern soll. 
Es ist also 
f ix) ----- lim 
v ' <-*&■ 
f{x + h) — fix) 
h 
(lim h ----- 0) 
d. h. die Ableitung ist der Grenzwert des Differcnzenquotienten 
bei nach Null konvergierendem h oder, wie wir kurz sagen wollen, 
bei hinschwindendem h. 
Wenn die Ableitung f (x) existiert, konvergiert /ly oder Af{x) 
gleichzeitig mit /Ix nach Null. Es ist nämlich 
a J y a 
A y= -- • Ax. 
y Ax 
Wenn nun Ax nach Null konvergiert, so wird (vgl. § 9, Nr. 5) 
lim Ay — lim (~j~j • lim A x — f' (x) • 0 = 0. 
Ax und Ay konvergieren also beide nach Null und dabei strebt ihr 
Quotient Ay : Ax dem Grenzwert f'(x) zu. Daher nennt Newton 
f'(x) die „ultima ratio incrementorum evanescentium“ (das letzte 
Verhältnis der hinschwindenden Inkremente). Um Newton 
richtig zu verstehen, stelle sich der Leser vor, daß in Fig. 9 der Punkt Q 
auf der Kurve nach P hinrückt. Gerade in dem Augenblick, wo er mit 
l P zusammenfällt, wird das Verhältnis Ajf : Ax gebildet und das ist 
' dann die Ableitung s (x). Tie Ableitung ist däs^erhältnis der Größen 
Ay und Ax gerade in dem Augenblick, wo sie aufhören zu sein, 
wo sie ins Nichts untertauchen. Newton hat noch eine andere Er 
klärung der Ableitung. Wenn der Punkt P auf der Kurve fortzurücken 
beginnt und man bildet gerade in dem Augenblick, wo er die Stelle P 
verläßt, das Verhältnis Ay : Ax, so ist es die Ableitung f (x). Sie 
erscheint hier als das erste Verhältnis der eben entstehenden 
Inkremente (prima ratio incrementorum modo nascentium). Es 
werden also die Inkremente in dem Augenblick betrachtet, wo sie an 
fangen zu sein, wo sie aus dem Nichts emportauchen. Newton 
fühlte selbst, daß in diesen Begriffen „prima ratio“ und „ultima ratio“ 
eine Schwierigkeit steckt. Für uns kommt nur der zweite Begriff in 
Frage, und wir können ihm eine strengere Fassung geben, indem wir