Ableitung. Differential 
35 
') an der 
! ist. 
= f{x) 
Dy oder 
lern soll. 
1Ä = 0) 
otienten 
t wollen, 
v A f(x) 
r. 5) 
strebt ihr 
Newton 
as letzte 
Newton 
Punkt Q 
Do er mit 
ld das ist 
r Größen 
zu sein, 
ndere Er- 
etznrücken 
^ Stelle P 
(x). Sie 
ehenden 
ium). Es 
io sie an- 
. Newton 
ma ratio“ 
begriff in 
ndem wir 
statt „ultima ratio inorernsntorurn evaneseentiurn“ sagen,,Gren,^Ver 
hältnis der nacb Null konvergierenden Inkremente". Von einer „prima 
ratio“ der eben entstehenden Inkremente zureden, wird von den modernen 
Mathematikern perhorresziert, weil sich dieser Begriff auf keine Weise 
exakt formulieren läßt. 
Ebenso wie der Differenzenquotient hat auch die Ableitung eine ein 
fache geometrische Bedeutung. Laßt man h nach Null konvergieren, 
so konvergiert der Punkt Q nach der Lage P (nämlich jede der Koordi 
naten von Q nach der entsprechenden von P). Die Gerade PQ dreht 
sich um den festen Punkts so, daß ihreNichtungskonstantedem Grenzwert 
f ix) zustrebt. Man sagt, daß ihre Grenzlage diejenige Gerade PT 
ist, deren Richtungskonstante den Wert f (x) hat (vgl. Fig. 9). Diese 
Gerade nennt man die Tangente der Kurve im Punkte P. Wie der 
Differenzenquotient gleich der Richtungskonstanten einer Sekante war, 
so ist die Ableitung gleich der Richtungskonstanten der Tangente. 
Wegen dieses Zusammenhanges, nannten Leibniz und seine Zeit 
genossen die Differentialrechnung, die die Berechnung der Ableitungen 
lehrt, eine „nova methodus tangentium“ (eine neue Tangentenmethode). 
Wenn wir x als die Zeit betrachteten und f(x) als die Abszisse eines 
aus der Zahlenlinie sich bewegenden Punktes, so war der Differenzen- 
quotient gleich der mittleren Geschwindigkeit während des Zeitinter 
valls (x, x -ff h). Strebt diese bei hinschwindendem h einem Grenz 
wert zu, so pflegt man ihn als die Geschwindigkeit des Punktes 
zur Zeit x zu bezeichnen. Die Ableitung f'(x) erscheint hier 
also als eine Geschwindigkeit. 
19. Das Differential Won f{x). 
Als Differential von f(x) bezeichnet Leibniz das Produkt aus 
der Ableitung f'(x) und der Größe h (dem Zuwachs von x). Er schreibt 
dafür df(x). Es ist also 
df{x) = f\x)h. 
Wenn man die Bildkurve von f(x) durch ihre Tangente im Punkte 
P ersetzt, so ist der Zuwachs, den die Funktion beim Übergange von 
L zu L -ff h erführt, nicht mehr f{x -ff h) — f(x) oder A f{x), sondern 
f {x)h oder df{x). In Fig. 9 ist ds{x) = ET, Af(x) = EQ. 
Benutzen wir die andere Deutung (x die Zeit und s(x) die Abszisse 
eines auf der Zahlenlinie sich bewegenden Punktes), so ist folgendes 
3*