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II. Differentialrechnung 
zu sagen: Wenn der Punkt die Geschwindigkeit fix), die er zur Zeit 
x hat, immer hätte, so würde er in dem Zeitintervall (x, x + h) die 
Strecke f\x)h oder df{x) beschreiben, nicht die Strecke Afix). 
Dem Begriff des Differentials liegt, wie wir sehen, der Gedanke 
zugrunde, eine Kurve in der Umgebung eines Punktes durch 
eine Gerade oder eine beliebige Bewegung in der Umgebung 
eines Zeitpunktes durch eine gleichförmige zn ersetzen. 
Die Ableitung der Funktion x ist gleich 1, weil schon der Diffe- 
renzenguotient —- ----- 1 ist. Infolgedessen gilt für das Diffe 
rential von x die Formel dx ----- h. 
Das Differential von x ist also h selbst. Wir können daher in der 
Formel dfix) ----- f (x) h für h auch dx einsetzen und erhalten dann 
dfix) ----- f (x)dx. 
Hieraus ergibt sich fix) = 
Die Ableitung ist also ein Quotient zweier (zu demselben h 
gehöriger) Differentiale, ein Differentialquotient. Man sagt des 
halb statt,,Ableitung von f ix)" auch „Differentialquotient von fix)". 
Die Berechnung des Differentials oder auch des Differentialquo 
tienten einer Funktion nennt man Differentiation (Differenzieren). 
§20. Differentiation einer Summe, einer Differenz, 
eines Produktes und eines Quotienten 
von zwei Funktionen. 
Wir nehmen an, daß die Funktionen fix) und g (-r) an der Stelle 
x Ableitungen fix), g'(x) besitzen. 
1. Wenn Fix) ----- f{x) -f g 0*0 ist, so hat man 
F(x -f h) — F{x) fix + h) — f (x) , g(x-j- h) — g (x) 
h = h h 
Die rechte Seite strebt bei hinschwindendem h dem Grenzwert/" (x) +.9' (x) 
zu. Folglich existiert F'(x), und es ist 
F\x) = f\x) + g'i/) oder kurz (f + g)' = f + g'- 
Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ab 
leitungen.