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II. Differentialrechnung 
Konvergiert h nach Null, so strebt er dem Grenzwert a x loga zu; 
a x hat also die Ableitung 
(cv*)' = a x log a 
und das Differential da x — a x \oga • dx. 
Setzen wir a = e, so wird loga = 1, weil nämlich e 1 = e ist. e x 
hat also die Ableitung (<f)'= e e , 
d. h. die Ableitung ist hier gleich der Funktion. 
8 23. Differentiation der trigonometrischen 
Fu nktionen. 
Wir beginnen mit der Funktion «in x. Der Differenzenquotient lautet 
sin (x 4- h) — sin x sin h . 1 — cos h 
-— , = cos x , sin x t 
h h h 
Hierbei haben wir benutzt, daß 
sin (x -j- 7i) — sin x cos h + cos x sin h ist. 
Zunächst müssen wir zusehen, was macht, wenn h nach Null 
konvergiert. Da . , ,, . , . , 
° sin (— h) — sin Ji sin h 
— h “ —h~ “ ~h~ 
ist, so genügt es h durch positive Werte nach Null konvergieren zu 
lassen, und wir können überdies annehmen, daß J> absteigend nach 
Null konvergiert. Wenn h hierbei die Folge y, ~ , ... durch 
läuft, so läßt sich leicht zeigen, daß beständig zunimmt und dem 
Grenzwert 1 zustrebt. 
Der Leser wird leicht bestätigen, daß das eingeschriebene regu 
läre -r-Eck des Einheitskreises die Seite 2 sin y, also den Umfang 
2/»sin — hat. 
Wenn n die Folge 1, 2, 3, . . . durchläuft, konvergiert der Umfang 
des /»-Ecks zunehmend nach dem Umfang des Einheitskreises, d. h. nach 
27r. Also konvergiert der durch 2n dividierte Umfang des /»-Ecks, d.h. 
n 
sin — 
n 
n 
n 
zunehmend nach 1.