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II. Differentialrechnung 
In dem Differenzenquotienten von sina: kam noch ein anderer Aus 
druck vor, dessen Verhalten bei nach Null konvergierendem/, wir unter 
suchen'müssen, nämlich i — cos h 
T~ 
Nun ist aber 
cos" — sin 2 also 1 — cos/, = 2 sin 2 -^-- 
cos h 
Daher können wir schreiben: 
i — COS h 
li 
h 
Da — gleichzeitig mit h nach Null konvergiert, so ist 
lim 
--- 1. 
Also können wir schließen (§ 9, Nr. 5): 
t /1 — cos h\ , 
'“M - r“)“ 0 ' 1 ”°- 
Kehren wir nun zu dem Differenzenquotienten von sin x zurück, so 
ergibt sich sofort, daß er dem Grenzwert 
,. /sin h\ 
cos X • hm I—T— I — si 
,. /1—COS /i> 
sin X • lim I ; 
h 
cosai 
zustrebt, sina- hat also die Ableitung 
(sin x)' ----- cos x 
und das Differential ,/ sin x = cos xdx. 
Bei der Funktion cosai kommt man in ganz ähnlicher Weise zum 
Ziele. Es ist cos (x -f- /,) ----- cos x cos k — sin x sin h, 
cos(aj -f- h) — cos# . sin h 1 — cos h 
also 
sin h 1 
— sin X —, cos X — 
n 
h — ~ h h 
Konvergiert h nach Null, so strebt dieser Differenzenqnotient dem Grenz 
wert — Sinai zu. Daher hat COS# die Ableitung 
(cos x)' = — sin x 
und das Differential d cosx ----- — sin#,/#. 
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