Differentiation inverser Funktionen 
49 
erinnere 
in 
längigkeit 
idre Mal 
nnktionen 
r andern, 
im Wach- 
Richtung 
i. Solche 
x = y{y) 
remente 
ach Null 
: das ent- 
»n: Beide 
ischen den 
t, daß ans 
5 7 darauf 
dx durch- 
Funktion 
eren, mit- 
ivert nicht 
und allen 
Wegen der 
cp{y) und 
1 alten und 
widerspricht 
so ist bei 
n, -dx und 
Jy stets gleichzeitig nach Null konvergieren, so können wir ebensogut 
sagen, die obige Relation finde bei hinschwindendem 4x statt. Dies 
bedeutet aber, daß die Funktion y = f(x) eine Ableitung fix) hat, 
die gleich 1 : cp\y) ist. Es gilt mit andern Worten folgender Satz: 
Sind y == f{x) und x = cpiy) zueinander inverse monotone 
Funktionen und existiert-/(z,), so existiert auch fix), und zwar 
ist f{x) der reziproke Wert von cp\y). 
Weiß man also P(«/)zu differenzieren, so kann man auch die inverse 
Funktion f{x) differenzieren. 
$)a y = log x die Umkehrung von x ---- e y ist, so muß nach dem 
obigen Satze 
llUSiXI = 
(log X)' = Jy 
sein, d. h. log x hat die Ableitung 
Os*)' = | 
und das Differential d\ogx = ~~ 
y ----- arc sin x ist die Umkehrung von x 
(arc sin x)' 
d. h. arc sin x hat die Ableitung 
(arc sin x)' = 
und das Differential 
ix > 0) 
sin y. Also ist (vgl. § 23) 
1 
cos y 
1 
1/1 — x i 
d arc sin x 
dx 
fl — x* 
Hierbei darf x nicht gleich 1 oder — 1 sein, und die Wurzel ist 
positiv zu nehmen, weil nach der Definition (vgl. § 16) y zwischen 
— * und ^ liegt, also einen positiven Kosinus hat. 
y ---- arc cos x ist die Umkehrung von x ----- cos y. Also ist (vgl. § 23) 
(arc cos x)' — - 
v J — sin y 
d. i). arc cos,-1 hat die Ableitung 
(arc cos x) '== , 
. y fl — x* 
ANilA 197: Kowalewski, Jnfinitesimalrechimnq. 3. Aufl. 
4