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II. Differentialrechnung 
Das Differential entsteht aus der Ableitung durch Multiplikation mit 
dx. Es ist also dy = F'{u)s(x)dx 
oder, da du = f'(x)dx ist, dy = F'(u)du. 
Das Differential öon y = F(u) würde genau so aussehen, 
wenn u selbst die unabhängige Veränderliche wäre. Das ist 
einer der Vorteile, den das Differential im Vergleich zur Ableitung bietet. 
Wir wollen dieses Resultat anwenden, um die Differentiationsregel 
der inversen Funktionen noch einmal abzuleiten (vgl. § 24). y ----- fix) 
sei gu x = cpiy) invers. Existiert die Ableitung cp'{y) und ist sie von 
Null verschieden, so existiert, wie wir gesehen haben, auch fix). Weiß 
man dies einmal, so kann man bei der Berechnung von f (x) so ver 
fahren. Das Differential von x = cp(y) lautet 
dx = (p\y)dy, 
ob nun y oder x die unabhängige Variable ist. Betrachten wir x als 
die unabhängige Variable, so ergibt sich 
' v ' dx cp (y) 
H 26. Beispiele. 
1. y — e^ x \ dy = ef^dfix) — e^f {x)dx. 
2. »"(«>0 und ft eine beliebige Zahl) läßt sich so schreiben: 
■—- ßf-l ^8 2» 
Nach Nr. 1 ist also 
d(x u ) — & Ll08x d(y log«) — fte“ log ®' ^ 
oder d (x‘ u ) = tx(nf~ x dx. 
s¥). 
dx 
— -j—dx. 
3- y = log fix). dfjx) _ 
V f{x) fix) 
Z. B. isti) ^logsin« — cotxdx, 
dlog cos« = — tgxdx, 
dlog tgx = 
2 dx 
d lose cot x — — 
sin x cos x 
dx 
sin x cos x 
sin 2 x' 
2 dx 
sin 2 x 
1) Man muß fix) > 0 voraussetzen.