Beispiele. Mittelwertsatz 
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4. y = log (x + ]/l + x 2 ). 
x -f- y i -f- x* x y i -j- x‘ 
Nach Nr. 2 ist 
d,y 1 -f- x* = d (1 4- x 2 ) = | (1 + x 2 ) - d (1 + x 2 ) 
xdx 
Man findet schließlich dx 
dy — 
yi-fa: 2 
dx 
Der Leser berechne noch das Differential von log (]/l -f- x 
§ 27. Der Mittelwertsatz. 
Wir beweisen zuerst einen Hilfssatz, der folgendermaßen lautet: 
Wenn /'(w) in dem Intervall (a, b), einschließlich der Grenzen, 
stetig ist, so gibt es in (a, -) einen Funktionswert/^). der von 
keinem anderen übertroffen, ebenso einen Funktionswert 
•), der von keinem anderen untertroffen wird. (Weierstraß.) 
Der Anfänger sagt gewöhnlich, dies sei selbstverständlich. Er möge 
aber bedenken, daß es fick hier um den größten und kleinsten Wert 
unter unendlichvielen handelt. Da ist die Existenz eines größten 
und kleinsten Wertes keineswegs so selbstverständlich. Z. B. gibt es 
unter den Werten 
2 ' 2 ' 3 ' 8 ' 4 ' 4/ ‘ ’ 
weder einen größten noch einen kleinsten. Der obige Satz bedarf also 
tatsächlich des Beweises. Es genügt aber die Existenz von f(|) fest 
zustellen. — f(£) ist nämlich für — f\x) ein größter Wert. 
Ein in {a, b) enthaltenes Intervall («, ß) wollen wir ein aus 
gezeichnetes Teilintervall von (cr, d) nennen, wenn es in (a, b) 
keinen Funktionswert gibt, der die sämtlichen Funktionswerte in («, ß) 
übertrifft. 
Zerlegt man (a, b) mittels des Wertes c = in (a, c) und (c, b), 
so ist wenigstens eins der beiden Tcilintervalle ein ausgezeichnetes 
Sonst ließen sich nämlich in (a, b) x t und x 2 so wählen, daß 
für a<^x<^c f{x) <f(x^), 
für c<^x<,b f(x) < f(x s )