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II. Differentialrechnung 
Verallgemeinerung. Wir wollen jetzt die Voraussetzung f(a) 
= f(p) = 0 fallen lassen, die übrigen Voraussetzungen des Rolleschen 
Theorems aber festhalten. In Fig. 10 ist 
die Bildkurve von fix) zu sehen. Die Ge 
rade AB in Fig. 10 ist die Bildkurve der 
Funktion 
Die Bildkurve muß eine Gerade sein, weil 
(p{x) offenbar die Form mx -\- p hat*) (m 
und p Konstanten). Daß die Gerade durch 
die Punkte A und B hindurchgeht, erkennt 
o «- 
Fig. 10. 
man sofort, wenn man x = a bzw. x = b setzt. Dann ergibt sich nämlich 
P(a) -- /*(«), cp(b) = /■(&)• 
Betrachten wir nun die Funktion ^) 
F(x) = f{x) — cp (sc), 
so erfüllt sie alle Bedingungen des Rolleschen Satzes. 
Die Differenz von zwei stetigen Funktionen ist, wie unmittelbar 
aus der Definition der Stetigkeit hervorgeht, stetig?) Ferner hat F{x) 
zwischen a und b überall eine Ableitung, weil f(x) und cp{x) eine 
solche haben. Endlich ist F(a) ----- F(b) ----- 0. 
Nach dem Rolleschen Satze gibt es zwischen a und b eine Stelle £, 
wo die Ableitung von F[x] verschwindet, wo also 
ist- 
Berechnet man nun cp \x), so findet man 
Es gilt also folgender Satz (der sogenannte Mittelwertsatz): 
Wenn f{x) weder bei a noch bei b unstetig ist und zwischen 
a und b überall eine Ableitung hat, so gibt es zwischen a und b 
eine Stelle § derart, daß 
f(b) — f{a) v s 
h — a i 
b — a 
1) Vgl. S. 29. 
2) Offenbar ist F(x) die Maßzahl von QP. 
3) cp{x) ist überall stetig, weil es überall eine Ableitung hat.