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Mittelwertsatz. Steigen und Fallen einer Funktion 
In Fig. 10 hat die Sehne AB die Richtungskonstante 
m-m 
b — a 
Andererseits ist f{£) die Richtungskonstante der Kurventangente im 
Punkte P mit der Abszisse £. Der Mittelwertsatz besagt, daß diese 
Tangente parallel zur Sehne ist. 
Setzt man a = x und b = x + h oder b = x und a = x-\-h, so 
wird sich |, da es zwischen x und x + h liegt, in der Form ^ = ic+ d-h 
schreiben lassen, wobei 0 < # < 1 ist. Die Formel des Mittelwert 
satzes lautet dann 
W + »)-/%_ A , + w) (0 <»<!). 
Falls man a = x und b = x-\-h gesetzt hat, ist h positiv; falls man 
h = x und a = x + h gesetzt hat, ist h negativ. Die Formel gilt, 
sobald f(x) bei x und bei x -f- b stetig ist und zwischen x und 
x 4- h überall eine Ableitung hat. Sie lehrt, daß der Diffe- 
s / fjß | J%\ —— s( 
renzenquotient ———~——- zu den Werten gehört, die die 
Ableitung s(x) zwischen x und x + h annimmt. 
Aus dem Mittelwertsatz ergibt sich, daß eine Funktion, die in 
einem Intervall überall die Ableitung Rull hat, daselbst eine 
Konstante ist. 
Sind nämlich x und x -f h irgend zwei Werte in jenem Intervall, 
so hat man nach jenem Satze: 
/0 + h) — f{x) --- hf\x -f &h) = 0, 
also f(x -f /¿) --- f(x). Dieses Resultat ist für die Integralrechnung 
von Wichtigkeit. 
8 28. Steigen und Fallen einer Funktion. 
/0) erfülle in (a, b) alle Voraussetzungen des Mittelwertsatzes. 
Weiß man überdies, daß die Ableitung für a < x < b stets positiv 
ist, so kann man schließen, daß fix) bei wachsendem x zunimmt 
oder steigt. Weiß man, daß die Ableitung für a < x < b stets ne 
gativ ist, so kann man schließen, daß f(x) bei wachsendem w ab 
nimmt oder fällt. Ist nämlich a^x l <fx i ^b, so hat man nach 
dem Mittelwertsatz 
/Os) ~ /'0i) — Os ~ «Om Oi < S < EZ) 
/0,) — /Oi) hat also das Zeichen von s(Q.