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II. Differentialrechnung 
Der gewöhnliche Fall ist der, daß f{x) nicht nur zwischen a und b, 
sondern auch an den Grenzen von a und b eine Ableitung hat*), und 
daß die Ableitung zwischen a und b ein bestimmtes Vorzeichen be 
wahrt. Der Sachverhalt ist dann also folgender: 
Voraussetzung: 
Für a <zX <^b existiert f(x), 
^ 1 positi 
' I negativ. 
a < x < b ist s(x)\■ 
Schluß: 
Für a <^x <,h 
ja?)*») 
bei zunehmendem") x. 
Wir wollen jetzt einige Aufgaben be 
handeln, wo es sich um das Steigen oder 
2«-.r FMeu von Funktionen handelt. 
1. Wir betrachten alle Rechtecke mit 
x dem Umfang 4 a und fragen, welches 
Sta u- unter ihnen den größten Inhalt hat. 
Nennen wir (Fig. 11) die eine Rechteckseite x, so muß die andere 
2a — x sein, damit der Umfang gleich 4a wird. Der Inhalt des 
Rechtecks ist x (2 a — x) = 2 ax — a? = f(x). 
Nun finden wir durch Differentiation 
f (x) ----- 2a — 2x 
und können folgendes konstatieren: 
x < a, f{x) > 0 f{x) steigt für x a, 
x> a, s{x) < 0 f(x) fällt für x a. 
Daraus geht hervor, daß f(a) der größte Wert von f(x) ist. Im 
Falle x = a ist aber das Rechteck ein Quadrat. Das Quadrat hat 
also unter allen Rechtecken mit gegebenem Um 
fang den größten Inhalt. 
2. Von einem quadratischen Blech mit der 
Seite a werden an den Ecken vier gleiche Qua 
drate fortgeschnitten. Die überragenden Recht 
ecke werden heraufgebogen, so daß eine Schachtel 
entsteht. Wie muß man es einrichten, damit 
die Schachtel einen möglichst großen Inhalt be 
kommt? 
Mg. 12. 
1) Daraus folgt die Stetigkeit an den Grenzen von (a, b). Vgl. S. 34. 
2) Diesen Zusatz „bei zunehmendem x“ läßt man gewöhnlich fort.