Steigen und Fallen einer Funktion 
Die Basis der Schachtel (das innere Quadrat in Fig. 12) ist (a 
die Höhe der Schachtel offenbar x, also der Inhalt 
(la — 2x') 2 x ----- fix). 
Differenziert man fix) ----- a 2 x — 4aa?-f 4a; 3 , 
so ergibt sich fip) — st2 ~■ 8ax + 12a?. 
Es ist also 
s ix) 
12 
W _ 2 
= (a 
2ax . 
a 2 
-r + 
12 
«\ 2 
a- 
87 
36 
a\ ( 
Wir können nun folgendes konstatieren: 
/»>0 
< a:< 
< 0 
/'(a;) steigt für a; < 
f(a;) fällt für -¡ir S 
Da x nach der Natur der .Aufgabe auf das Intervall (o, be- 
schränkt ist, genügt dies schon. Wir sehen, daß fl—j der größte Wert 
von f(x) ist. Die an den Ecken herausgeschnittenen Quadrate müssen 
also den sechsten Teil der Seite des ganzen Quadrates als Seite haben. 
Die Basis der Schachtel hat dann die Seite a— 2 “' = 4 ( . a - Die Schachtel 
ist also viermal so breit als hoch. 
3. Man lasse einen Rhombus von konstanter Seite a um eine 
seiner Diagonalen rotieren. Wann ist der entstehende Doppelkegel 
von größtem Volumen? 
Die Figur 13 zeigt eine Hälfte des Rhombus. 
CD ist die Rotationsachse. Der Winkel bei C, um 
dessen Bestimmung es sich handelt, werde mit 2 a; 
bezeichnet. Dann ist der Grundradius des ein 
fachen Kegels a sin x, seine Höhe a cos x, also 
sein Volumen 
7tn 3 .„. aa S 
-g sin - x cosx ----- r—— f(x).