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II. Differentialrechnung 
weil u n + 1 > 0. 
Setzt man nämlich 
s n = % + m 2 -f • • • + w„, ¿ n = + ^2 H + v m 
so ist die (2n)-te Partialsumme obiger Reihe offenbar s n + t n , die 
(2 n — 1 >te aber s n + t n _ 1 . Beide haben also den Grenzwert § + t 
Im übrigen ist hier die Bemerkung 5 aus § 5 anzuwenden. 
Statt u x + (— v t ) + % + (—1’ 2 ) + • • • schreibt man kürzer 
u \ — l \ J 
Wenn s = u x + u 2 H , t = -j ist, so kann man zunächst 
schließen — t = (— r^) + (— t> 2 ) -\ und erhält dann durch Addition: 
s — t = u x —v 1 -f- w 2 — t’ 2 + • • • (Subtraktion der Reihen.) 
Reihen mit positiven Gliedern. Wenn alle u n positiv J sind, so 
bilden die Partialsummen der Reihe u t + « 2 + w 8 + • • • eine auf 
steigende Zahlenfolge. In der Tat ist 
' S « + l= S «-t- W «+l ^ S n> 
Bei einer solchen Reihe braucht man nur zuzusehen, ob s n unterhalb 
einer endlichen Grenze bleibt oder ob es bei zunehmenden n über alle 
Grenzen wächst. Im ersten Falle ist die Reihe konvergent, im zweiten 
Falle divergent. Das geht aus § 6 hervor. 
Eine Reihe mit positiven Gliedern ist dann und nur dann 
konvergent, wenn ihrePartialsummen unterhalb einer end 
lichen Grenze liegen. 
Z. B. ist die Reihe ± , JL + JL . 
]/2 ]/3 
divergent, roeii 2 ) 
11 1 n 
o —— —j— * * • h—— ~~p= = y w 
]/n Yn Y n V n 
und'Z-r bei zunehmenden n über alle Grenzen wächst. 
Dagegen ist die Reihe 
~L JL _|_ J_ 
l‘2'2-3'3-4' 
konvergent. In der Tat ist hier 
i 1 ~ I) + (1 “ ?) + * * * + {i ~ »Tfi) = 1 ~ ‘ 
1) Sie dürfen auch z. T. gleich Null fein. 
2) Wir ersetzen alle Glieder der Partialfumme s n durch das kleinste.