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Unendliche Reihen 
Alle Partialsummen sind kleiner als 1. Die Summe der Reihe läßt 
sich hier sofort bestimmen. Es ist nämlich lims n = 1, also 
i --- — - -f — -f JL _|— . 
1-2 1 2 > 3 ^3-4:. 
Alternierende Reihen dom Leibnizschen Typus. Wenn u lr u 2l 
u 3t . . . eine absteigende Folge positiver Zahlen ist, nennt man 
u x — u 2 + u 3 — « 4 + • • • 
eine alternierendes Reihe vom Leibnizschen Typus. Wenn man die 
Partialsummen einer solchen Reihe auf der Zahlenlinie markiert, so 
entsteht ein Bild, wie Fig. 16 es zeigt. Um nämlich von der Stelle 0 
zur ersten Partialsumme zu gelangen, muß man sich um u x nach rechts 
bewegen. Eine Bewegung um u 2 nach ^ 
links führt dann zur zweiten Partial- > *_ 4 , , 
summe, eine Bewegung um u 3 nach 0 s ^ Sj 
rechts zur dritten usw. Man pendelt ® t0 ‘ 16 ' 
also auf der Zahlenlinie hin und her. Die Schwingungen werden aber 
immer kleiner und kleiner. Daher liegen die Punkte §1, s 2l s 3 , ... so, 
wie Fig. 16 es andeutet. Man sieht, daßs 2 , s 4 , s 6 ,... eine aufsteigende 
und §1, Sz, Sz,... eine absteigende Folge ist. Beide sind in dem Inter 
vall (0, s x ) enthalten. Nach § 6 hat also die Folge s 2 , s 4 , s 6l ... einen 
Grenzwert A, die Folge s lt s 3l s 5 , ... einen Grenzwert B. Die 
Reihe u x — u 2 -f- u 3 — w 4 + • • • wird dann und nur dann kon 
vergent sein, wenn Ä = B ist. Da nun 
B — Ä — lim u n 
ist, so ergibt sich folgender Satz: 
Eine alternierende Reihe vom Leibnizschen Typus ist 
dann und nur dann konvergent, wenn das allgemeine Glied 
den Grenzwert Null hat. Die Summe s der Reihe ist in jedem 
der Intervalle (s 2 , § 4 ), (s 4 , s 3 ), . . . enthalten. 
Absolut konvergente Reihen. Die Reihe u t + + % + • * • 
heißt absolut konvergent, wenn st- \u 2 \ -f i u 3 st—konvergent 
ist. Uni diese Benennung zu rechtfertigen, müssen wir uns zuerst über 
zeugen, daß die Konvergenz der zweiten Reihe die der ersten nach sich 
zieht. Dabei benutzen wir folgende Bemerkung: 
1) Alternierend heißt die Reihe, weil ihre Glieder u v , — m 2 , u t , — u 4 ,... 
abwechselnd positiv und negativ sind. 
ANnG 197: Ko Wale wski, Infinitesimalrechnung. 3. Aufl. 5