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II. Differentialrechnung 
Wenn immer 0<a n < b n ist, so folgt ans der Konvergenz 
von b x -f & 2 + b 3 + • • • bie Konvergenz von a x -f- a 3 -f « 8 H 
Wenn nämlich alle Partialsummen b x -f- b 2 -f- f-b n unterhalb einer 
endlichen Grenze liegen, so gilt dies um so mehr von den Partial 
summen a x + «2 + 
a i + a 2 + 
Nun hat man 
+ öl, weil 
+ a n < + &2 + ' ‘ 
ist- 
0 < 
u n \ + u r 
< 
0 < 
Ist nämlich u n > 0, so lvird x ) 
1 u n I + u n 
2 
Ist aber u n < 0, so wird 
i u ,i I + u . 
2 
= U. 
0 
und 
und 
> = o. 
folgt 
und 
Aus der Konvergenz der Reihe ( u x | -f- | u 2 | -f | u 3 \ -f- • 
also nach der obigen Bemerkung die Konvergenz der Reihen 
' u t I ~t~ u i I 31 + u i , 3 ! +3 I 
2 ‘ 2 ' 2 ‘ 
l“il —. I«»l—«i I Kl — Ms , 
2 ~T~ 2 i L> ”r 
Da aus ihnen durch Subtraktion die Reihe u x -f n 2 + u 3 -f- ■ • • 
entsteht, so ist sie ebenfalls konvergent. 
Man sieht zugleich, daß eine absolut konvergente Reihe sich 
stets als Differenz von zwei konvergenten Reihen mit nicht 
negativen Gliedern darstellen läßt. 
Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergent sind. Neh 
men wir z. B. die Reihe 
1 _ J_ , _L__L . ... 
]/2 +3 j/4 ' 
so ist sie als alternierende Reihe vom Leibnizschen Typus konvergent; 
denn das allgemeine Glied strebt dem Grenzwert Null zu. Aber diese 
Reihe ist nicht absolut konvergent, weil die Reihe 
l+-^ + ^= + ^ + ..- 
y2 ' j/3 ' |/4 ' 
divergent ist (vgl. S. 64). 
1) Man erinnere sich an die Bedeutung des Symbols \u n \. Vgl. S. 24.