Potenzreihen 
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genten Reihe eine Nullfolge bilden, so liegen in jeder Umgebung der 
Null, also auch in dem Intervall (— 1,1), fast alle Werte a n x 0 n . Es 
wird also fast immer x ) die Ungleichung 
KVl<i. d.h.'Kl" <¿1 
stattfinden. Daraus entnehmen wir, daß die Folge 
(*) I «1 I ' I «2 ft, I «3 * • ' 
beschränkt ist. 
Umgekehrt läßt sich zeigen, daß, so oft die Folge (*) beschränkt ist, 
die Reihe a 0 + a x x a 2 x 2 -f • •• nicht bloß für * = 0 konvergiert. 
Wenn die Folge (*) beschränkt ist, gibt es unter ihren Häufungs- 
Werten einen größten (vgl. § 11). Dieser heiße A. Wir wollen zu 
nächst annehmen, daß A nicht gleich Null ist. Konstruieren wir 
um A eine Umgebung 2 ) (A — e, A + e), so liegen darin unendlich 
viele Glieder von (*). Wir können aber sicher sein, daß fast alle 
Glieder von (*) kleiner als A -f £ sind, sonst gäbe es noch einen 
größeren Häusungswert als A, weil die Glieder von (*), bie A + s 
sind, einen Häufungswert hätten (§ 4). Die Ungleichung 
1««1 > U — £ ) n 
wird daher unendlich oft, die Ungleichung 
I a n I < iA + 0” 
fast immer stattfinden. Es wird also unendlich oft 
I a n xn I > {( Ä — £ ) I x 11 ” 
und fast immer ! 1 < {(J. + s) \ x [}" 
sein. Hat man nun {A — e) | x | > 1, so kann die Reihe 
a 0 -f- a x x + «2^ 2 + • • ■ 
nicht konvergieren, weil unendlichviele Glieder ihrem Betrage nach 
größer als 1 sind, so daß nicht einmal die Bedingung Um u n ----- 0 er 
füllt ist. Hat man (A -f- s) \ x j < 1, so sind bei passend gewähltein v 
die Glieder der Reihe I a r x v \ + | a v+i x v+i \ -f • • • kleiner als die 
entsprechenden Glieder der konvergenten Reihe 
{(A +e)]x\}'’ + \{A + e)\x\}^ 1 2 +--: 
Die Reihe a Q -f- a x x -f- a 2 a; 2 + • • • ist daher absolut konvergent. 
1) D. h. für alle Werte des Index n. 
2) s denken wir uns kleiner als A.