Potenzreihen 71 
ist also die Potenzreihe absolut konvergent, außerhalb des 
Konvevgenzintervalles ist sie divergent. Wie sie sich an den 
Grenzen —j- und verhält, darüber läßt sich nichts Allgemein 
gültiges sagen. 
Soll der obige Satz alle drei Gattungen von Potenzreihen um 
fassen, so müssen wir noch einige Vereinbarungen treffen. Wenn die 
Folge (*) nicht beschränkt ist, wollen wir sagen, daß oo der größte 
Häufungswert sei, und A durch oo ersetzen. ~ soll dann soviel be 
deuten wie 0. Das Konvergenzintervall reduziert sich in diesem Falle 
auf den Punkt 0. Endlich wollen wir, wenn i = 0 ist, unter ~ 
soviel wie oo verstehen. Das Konvergenzintervall ist dann (— oo, oo), 
und alle Zahlen liegen innerhalb desselben. 
Zum Schluß wollen wir einen Satz beweisen, der in vielen Fällen 
die Bestimmung des Konvergenzintervalles erleichtert: 
Es ist immer 
lim I OL 
lim 
wenn der zweite Grenzwert existiert?) 
zwischen 
g — e und g + £ liegen?) Nur eine endliche Anzahl von Ausnahmen 
wird es geben. Ist n = v — 1 der größte Ausnahmeindex, so werden 
die Quotienten K+i 
st v + 2 
a v 
«v + 1 
Setzen wir lim 
Vfl 
a 
= g, so werden fast alle 
alle zwischen g — e und g -j- c enthalten sein. Nun können wir, falls 
w>v ist, schreiben 
a v4-1 a n 
d 3= dy> * * • • • 
* «v a v + l a n-1 
Daraus ergibt jtd) 3 ) 
KI (9 - c)"-"<K i<Kl(g + e)»-" 
1) Wir nehmen natürlich an, daß kein a n gleich Null ist. 
2) Im Falle g ----- 0 ist g — e durch 0 zu ersetzen. Im Falle g > 0, 
muß man s < g annehmen. 
3) Im Falle g = 0 steht in den folgenden Ungleichungen auf der linken 
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