II. Differentialrechnung 
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(Kl (9 - £ ) v } ” (9 - «) <\%\ n < (Kl (9 + £)' r } B (9 + «)- 
Die einschließenden Größen durchlaufen, bei zunehmendem n, Fol 
gen mit den Grenzwerten g — £ bzw. g -f £ (vgl. S. 23). Fast alle 
Glieder dieser Folgen werden also dem Intervall (g — 2 s, g -f 2 s) 
angehören, mithin auch fast alle Glieder der Folge (*). 
Da nun £ beliebig klein gewählt werden darf, so konvergiert die 
Folge (*) nach g. 
Der Satz gilt übrigens auch, wenn g der uneigentliche Grenzwert 
00 ist. Dann wird jede Zahl K von fast allen ! | übertroffen, 
und aus 
1 1 
folgt \a n \>\a v \K n ~ v also | a n \ n > (| a r 1 K~ v ) « • K. 
Die rechte Seite strebt bei zunehmendem n dem Grenzwert K zu. 
Daher wird fast immer 
“J” > T 
1' +1 
- > K, 
v + 2 
l 
r + 1 
>K, 
>K 
sein. Da K beliebig groß gewählt werden kann, sieht man hieraus, 
daß jede Zahl von fast allen Gliedern der Folge (*) übertroffen wird, 
daß diese also den uneigentlichen Grenzwert 00 hat. (Vgl. § 6.) 
Wir können nun folgenden Satz aufstellen: 
Hat die Folge 
(**) 
a^_ 
a 4 
«2 1' 
; «s 
den (eigentlichen oder uneigentlichen) Grenzwert g, so ist 
i-j'j) 
das Konvergenzintervall der Potenzreihe 
a 0 -j- a t x + «ä + • • • 
In der Tat hat die. Folge (*) dann ebenfalls den Grenzwert g, 
der zugleich der einzige, also auch der größte Häufungswert von (*) 
ist, so daß A mit g zusammenfällt.