Differentiation der Potenzreihen 
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$31. Differentiation der Potenzreihen. 
Wir werden jetzt zeigen, daß man die Ableitung einer Potenzreihe 
innerhalb ihres Konvergenzintervalls erhält, indem nian gliedweise 
differenziert. 
a 0 + a x x + a 2 x 2 -\- • • • sei eine Potenzreihe, deren Konvergenz 
intervall (— q, q) nicht punktförmig ist. Innerhalb des Konvergenz 
intervalls hat sie an jeder Stelle x eine Summe f(x). Wir werden 
feilen, daß aus f(x) = a 0 + a x x + a 2 x 2 + • • • (| x | < q) 
folgt f'{x) = a x -f 2a 3 x 4- 3 a 3 x 2 
Zunächst wollen wir uns überzeugen, daß die Reihe 
a x + 2a 2 x -j- 3a 3 x 2 + • • • 
dasselbe Konvergenzintervall hat wie a 0 4- a x x 4- a 2 x 2 + - . 
Ist x irgendein Wert zwischen — q und q, so liegt, wenn q größer 
als 1, aber nicht zu groß ist, auch qx zwischen — q und q. Wegen 
der absoluten Konvergenz der Potenzreihe innerhalb ihres Konver 
genzintervalls wird dann 
i «0 I + 2 I a i x + Q. 2 \ «8®* + 2 3 i «3« 3 4 
konvergent sein, folglich auch die Reihe 
«i 4- q | a 2 x 1 4- 3 2 i «s* 2 1 H • 
Fast alle Glieder der Folge sind nun größer als die entsprechen 
den der Reihe + 2 \a 2 x\ + 3 \ a 3 x 2 | 4- • • • 1 
denn man hat, wenns>1ist, fast immer q n >n 4-1, i». 1). g> (n 4- l) w , 
weil (nach § 30, S. 71) 
lim(« + 1)" - Um (?4;4) - lim (l + ~ T ) ' 1. 
Es folgt aus dem Obigen, daß die Reihe a x 4- 2a 2 x + 3a 3 x 2 -\ 
einen absolut konvergenten Rest besitzt, mithin selbst absolut kon 
vergent ist. Daß diese Reihe kein größeres Konvergenzintervall zuläßt 
als (— q), ist noch leichter zu erkennen. Aus der Konvergenz von 
! a x \ 4- 2 | a 2 x 4- 3 a 3 x 2 j 4 folgt nämlich die von ) a 0 ; 4-1 a x x \ 
4- 2 \ a 2 x 2 j 4- 3 | a 3 x z | + • * * und weiter die von \ a 0 1 4~ ' a x x I 
4- | a 2 x 2 1 4- I a s x 3 (• • •.