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II. Differentialrechnung 
Die Reihe + 2a 2 x + 3a s x 2 4 , die aus « 0 -f- a v x + a 2 a; 2 -f— 
durch gliedweise Differentiation entsteht, hat also dasselbe Konvergenz- 
intervall (— §, o) wie diese. Setzen wir für I x \ < q 
a t + 2 a 2 x -f 3a 3 a; 2 -f- • • • = g(x), 
so komnlt es jetzt darauf an, zu zeigen, daß f'(x) ----- gix) ist. 
Wenn x und x + // beide im Jnneril des Konvergenzintervalles 
(— Q, q) liegen, ist 
f(x -f h) — f(x) ' (x + hy—x* „ 0 -j- hf — x % 
h " «1 + «3 h + «3 fl + • • • / 
«lío Ú*+R=M _ a¡ jfr+jow 
Nun ergibt sich durch zweimalige Anwendung des Mittelwertsatzes 
(§ 27) (L-j- h) n — x n n ,, , \ i 11 
^ nx n ~ 1 = n{(x + & n ~ 1 — x n ~ 1 } 
= n (w — 1) «-„ä (x -f &*& n h) n - 2 . 
dabei sind 0- w , gewisse Werte aus dem Intervall (0,1). Wenn r 
x+h eine feste Zahl zwischen | x | und 
-P-r o x r q q bedeutet, so wird bei geuügend 
Fig kleinem I h | auch | x + h | < r sein 
(Fig. 17), also auch \x -f h ] <r. Es wird also folgende Un 
gleichung gelten (vgl. § 9, Nr. 8): 
| ^ ~ y (s) | .< | i | (2 | o, | + 3 • 2 | a, | r + • • ■) ■ 
Wegen der Konvergenz brauchen wir uns keine Sorge zu machen. Wir 
wissen nämlich, daß 2a 2 -f- 3 • 2a 3 x -f • • • dasselbe Konvergenz 
intervall hat wie a t -f 2a 2 x -f 3 a^x 2 -\- - - - und daß eine Potenz 
reihe im Innern ihres Konvergenzintervalles absolut konvergiert. Bei 
hinschwindendem h folgt aus obiger Ungleichung 
f(x + h) -f{x) 
hm —^ = g{x), 
d. h. s (x) existiert und ist gleich g (x). 
H 32. Anwendungen. 
1. Die Funktion f{x) ----- log(l + x) hat die Ableitung