Anwendungen 
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Ist nun ! o? | < 1, so können wir schreiben (vgl. S. 68) 
Diese Potenzreihe ist aber die Ableitung von 
Aus f'(x) ----- cp'{x) oder {f — <p)' = 0 folgt (vgl. S. 57), daß 
f{x) — <p(x) = C ist (C eine Konstante). Da f{0) ---- yi(0) ------ 0 ist, 
muß auch C = 0 sein, und man hat also f{x) ----- <p(x), d. h. 
(•) log(l+ *)-»-Y + y , 
wenn | ct? 1 < 1 ist. 
Für L ----- 1 reduziert sich die Reihe auf 
1 _ i _L 1 
- 1 2 ' 3 
Das ist eine alternierende Reihe vom Leibnizschen Typus. Da ihre 
Glieder eine Nullfolge bilden, ist sie konvergent (vgl. § 29). 
Bezeichnen wir ihre Summe mit s, so können wir schreiben 
§ — log (1 + x) — (1 — x) — | (1 — x 2 ) + |(1 — x*) . 
Im Falle 0 < x < 1 ist dies wieder eine alternierende Reihe vom 
Leibnizschen Typus. Um zu erkennen, daß wirklich 
— (1 - x n ) t—r (1 - x n + 1 ) > 0 
ist, bemerke man, daß diese Funktion zwischen 0 und 1 die negative 
Ableitung 
— x n 
-f- x n 
hat, also in dem Intervall (0, 1) abnehmend ist. Da nun § — log 
(1 -f- x) zwischen den beiden ersten Partialsummen liegt, die im Falle 
lim x = 1 nach 0 konvergieren, so folgt s ---- log 2. Die Formel (*) 
gilt also auch für -r ----- 1. 
Für w ---- - 1 gilt sie dagegen nicht, tveil die Reihe 
1 + 2' + 3" + ' ‘ ’ 
divergent ist und auch log (1 — 1) keinen Sinn hat. Wäre jene Reihe 
konvergent und g ihre Summe, so hätte man für 0 < x < 1 
— log (1 — x) = x + — + ~ 4 <6.