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JI. Differen ti alrechnun g 
Diese Potenzreihe ist aber die Ableitung von 
cp(x) 
+ - 
1 
Aus f'(x) = <p'{x) folgt f{x) — cp{x) = C, und da /'(0) ----- 9(0) = 0 
ist, muß (7=0 sein. Es gilt somit für x 2 < 1 die Gleichung 
(t) 
arctg x = x 
ar x s 
T T - 
Sie gilt, wie wir jetzt zeigen wollen, auch fiir x 2 = 1. Es genügt 
offenbar den Fall w = 1 zu erledigen, weil arctg (— x) ----- — arctg x 
ist. Solange 0 < x < 1 ist, können wir aus (f) entnehmen*) 
- 4p — 1 < --^8--- < * - 3 + ■ • • + • 
— -f 
3 ~ 
Denn es handelt sich um eine alternierende Reihe vom Leibnizschen 
Typus. Lassen wir x nach 1 konvergieren, so ergibt sich, wegen der 
Stetigkeit des Arcustangens, 
+ 
7 r < arctg 1 < 1 
4 p — 1 = e — 
+ •••+-/ 
1 
3 1 1 4p -|- 1 
Wenn jetzt p über alle Grenzen wächst, konvergieren die einschließen- 
den Größen nach 1 — ^ ff- j- 
Also ist auch arctg 1 oder 
gleich dieser Reihe. Wir erhalten auf diese Weise die Leibnizsche Formel 
1 __ 1 _j_ A _ 
3 1 6 
die übrigens zur numerischen Berechnung von n höchst ungeeignet ist. 
Eine für diesen Zweck sehr geeignete Formel erhält man, wenn man 
von dem Bogen a ausgeht, dessen Tangens gleich \ ist. Man hat dann 
tg 2a — 
tg 4 a = 
2 tg a 
1 — tg s a 
2tg 2 a 
12 ' 
_ 120 
1 — tcr*2K " 119 ' 
also 
tg (4 a - 
tg 4 a — tg - 
1 -f- tg4a tg 7 
1 
239 
1) Ähnlich hätten wir (S. 75) bei log(l -j- x) vorgehen können.