ist, konvergiert sie für alle Werte von x (vgl. den Schluß von § 30). 
Nennen wir die Summe der Reihe cp(x), so wissen wir von yix), daß 
g>(0) — 1 und cp' (x) — cp{x) 
ist. Der Quotient*) cp(x) : e x hat die Ableitung 
*V(«) — e x cp (x) n 
e *X 
Daher ist y{x):e x ----- C, und diese Konstante muß gleich 1 sein, weil 
qp(0): e° = 1 ist. Damit haben wir die Gleichung 
m /y»2 /y> 3 
*’- 1 + 1 + iTä + ri4 + • • • 
in aller Strenge bewiesen. Setzen wir -r ----- 1, so ergibt sich 
6=1 + y + 1T2T3 ‘ ’ ’> 
eine für die angenäherte Berechnung von e sehr zweckmäßige Formel. 
Beschränkt man sich aus die n + 1 ersten Glieder, so ist der Fehler- 
kleiner als j t 
(n -f- 1)1 \ n -f- 1 {n -f-l) 2 / n\n’ 
so daß e zwischen 
1 +ir + 2! + 
1 + rr + h + 
+ 
n! 
und 
+ 1 + 1 
n! n! n 
enthalten ist. 
Hinsichtlich des oben benutzten Hilfssatzes bemerken wir folgendes: 
Aus c o + c i x + 6 2 ,r 2 + * ■ ’ = 0 (| x | < q) 
folgt nach § 31 c l -f- 2 c 2 x + 3 c & x 2 + •••==■ 0, 
2 c 2 -f 3 • 2 c 3 # -j- • • • ----- 0, 
3 • 2c 3 + 4 • 3 • 2c±x -}-••• = 0, 
Setzt man in allen diesen Gleichungen L ----- O, so findet man 
Civ ----- c. ----- Co = ■ ■ • ------ 0. 
1) e x ist nie gleich Null. Daher dürfen wir durch e x dividieren.