Anwendungen 
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Der Leser beweise mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffi 
zienten die Formeln 
608 x 
sm x — x 
x , x x 
1.2 ' 12 3-4 12-34 - 5 - 6 ^ ' 
X s x B x"‘ I 
1^73 ^ 1.2.3-45 12-3-4-5-6-7 ' 
die für alle Werte von x gelten. 
4. Zum Schluß wollen wir eine Potenzreihe suchen, die innerhalb 
ihres Konvergenzintervalles die Summe f{x) = (1 + e/ a ° s{1 + x) 
hat^). Aus (i st- x y = a 0 -I- a t x + a 2 x 2 H folgt 
ft(l + xJ L ~ 1 = a t + 2 a a x + 3 a 3 ar + • • • 
Multipliziert man mit 1 st- w, so ergibt sich 
fi(1 + xy i == % -f- (st i + 2a 2 )x -f- (2st 2 + 3a s )iK 2 + • • • 
Es finden also folgende Gleichungen statt: 
— ftsifQ, stj -j- 2 = f*sti , 2 "f" 3 ctg — 1 - * • 
Da 1" == 1 ist, muß a 0 = 1 sein. Die Potenzreihe lautet daher 
1 st- ^ w st- 
w 2 st- ^ 
1-2-3 
- ’-X* st- 
Hier ist 
a„ 
+1 = p — n 
n n-\-i' 
1 und lim 
mithin 
= 1. 
Die Potenzreihe hat also das Kvnvergenzintervall (— 1,1). Inner 
halb dieses Intervalles ist, wie wir jetzt zeigen werden, ihre Summe 
(1 st- xy i . Bezeichnen wir nämlich diese Summe mit cp{x), so ist 
(1 st- x)cp\x) = (itpQc), 
m 
also 
V \ f*«p(®) ft(l st- xf 1 (p{x) 
* W - rfx = 
und 
(1 st- a:) 1 “ 
f(x)cp'{x) — s (x)cp{x) sP(a-)st 0 
p(x) \ f(x) j 
Hieraus folgt 
cp(x) 
m 
G, 
1) Wir nehmen an, daß [i von 0, 1, 2, 3, . . . verschieden ist. Damit 
log (1 st- n) einen Sinn hat, müssen wir w>> — 1 voraussetzen. 
ANuWlSt: Kowalewski, Infinitesimalrechnung. 8. Anfl. 6