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II. Differentialrechnung
und da cp(0) = f{0) = 1 ist, muß auch C = 1 sein. Damit ist fol
gende Formel bewiesen*)
(1 -st %}“ — 1 + y x + ~frjn x * H (| x | < 1)
Man nennt sie die Newtonsche Binomialformel.
Wenn ii eine positive ganze Zahl ist, brauchen wir die Bedingung
! x | < 1 nicht mehr. Dann gestaltet sich auch der Beweis der Formel
noch einfacher. Man weiß von vornherein, daß (1 -st x} u eine ganze
rationale Funktion /r-ten Grades mit dem Anfangsgliede 1 ist, also
(1 -st x) fl =1 -st a x x -st af -st - - - -st a n x u .
Durch Differentiation findet man
sr(l -st x)"~ 1 = a x -st 2 a a x -st - - - -st (,ia u x fl ~ l .
Es ist also
^(1 -st x)f = a x -st {a x -st 2 a 2 )x -> -st (ia fl a> u
— f*(l + «i« H +
Hieraus ergeben sich wie oben die Werte der a.
8 33. Höhere Ableitungen und Differentiale.
Die Ableitung von f'(x) oder Df{x) nennt man die zweite Ab
leitung von f{x) und bezeichnet sie mit f"(x) oder D 2 s(x). Die
Ableitung von f"(x) heißt die dritte Ableitung von f{x) und man
schreibt dafür fix) oder D s f(x). Die -r-te Ableitung von f{x) wird
mit f\x) oder D n f{x) bezeichnet und ist definiert als die Ableitung
von f~ 1 \x) oder D n ~ 1 f{x).
Bei f{x) = e® ist fix) ----- e®, s'(x) ----- e® usw. Alle Ableitungen
sind hier gleich e e .
cos x und sin x haben die Ableitungen — sin x = cos (x -st y j bzw.
cos n == sin (x -f-y y Es ist also
(cos x)' ----- cos (x -sty^, (sin x)' ----- sin (x + y) •
Hieraus folgt weiter
(cos x)"= cos ^ -st 2 - yj, (sin x)"= sin (x -f- 2 • y^
1) Es bliebe noch übrig, die Gültigkeit dieser Formel an den Grenzen
des Intervalles zu untersuchen. Darauf gehen wir aber hier nicht ein.