Höhere Ableitungen und Differentiale 
usf. Allgemein ist 
(608 ¡r)W = cos {x n • ~j, (sinic)W = sin (x -f- n • 
Wenn die Reihe *) 
c 0 -f c t {x — a) + c 2 (x - a) 2 + • • • 
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das Konvergenzintervall (a — q, a -f q) hat, so folgt für | x — a] < q aus 
f{x) = c 0 + c x {x — a) + Cg (# — a.) 2 + • • • 
nach ß 31 f'(x) = c 1 -f- 2c 2 (iK — a) + 3 c 3 (ic — a) 2 -f • • • 
und hieraus weiter 
f"(x) ----- 2Cg -f 3 • 2c 3 (x — a) -(- 4 • 3c 4 (r» — a) 2 + • • • 
usf. Setzt man überall x = a, so ergibt sich 
Mau kann also schreiben: 
f{x) = f(a) + *-7“/"(») + /-(--) + ' ' • (!* — «!<?) 
Auf diese Formel kommen wir an einer späteren Stelle zurück. (§ 38.) 
Wir wollen jetzt noch die höheren Differentiale erklären. Ist 
y ----- q>{x), so haben wir dy ----- cp'{x)dx als Differential von y be 
zeichnet. Das Differential von dy, also ddy, nennt man das zweite 
Differential von y und schreibt dafür kürzer d 2 y. Das Differen 
tial von d*y wird mit d^y bezeichnet und heißt das dritte Diffe 
rential von y usf. Das n-te Differential von y, wofür man d n y 
schreibt, ist definiert als das Differential von d n ~ l y. Hierbei wird 
dx, das Differential der unabhängigen Veränderlichen x, als kon 
stant betrachtet. Es ist bei dieser Annahme 
d?y ------ d(p\x) • dx = cp'^s^dx 2 , 
d 5 y ----- dcp"(x) • ckw 2 ------ (p"'(x)dx : 
usf., allgemein also 2 ) 
d n y = (p^(x)dx n und (p^(x) ------ —^ 
1) Das ist eine gewöhnliche Potenzreihe. Nur ist x durch x — a ersetzt. 
2) dx n kann nicht mit d(x n ) verwechselt werden. Daher ist es unnötig 
dafür (dx) n zu schreiben