III. Integralrechnung 
Ist y ----- F(u) und u eine Funktion von x, so hat man nach § 25 
dy — F'{u)du. 
Nun ergibt sich aber weiter 
d 2 y — dF'(u) ■ du -f- F'(u) • d?u — F" (u) du 2 + F'(u)d 2 u. 
ährend das erste Differential von y genau so aussieht, 
als ob u die unabhängige Variable wäre, ist dies bei dem 
zweiten Differential nicht mehr der Fall, ebenso bei dem drit 
ten, vierten usf. 
Ist u — ax + b (a und b konstant), so wird du — adx, d 2 u ----- 0, 
d s u ----- 0, .. . In diesem Falle reduzieren sich die höheren Differen 
tiale d 2 y, d 3 y, ... auf F"(ic)du 2 , F"'(u)du 3 ,'. . ., sehen also genau 
so ans, als ob u die unabhängige Veränderliche wäre. 
Drittes Kapitel. 
Integralrechnung. 
34. Stammfunktionen. 
Wenn F{x) die Ableitung f(x) hat, so nennt man F(x) eine 
Stammfnnktion von f{x) oder ein Integral von f{x)dx, und man 
schreibt: 
(*) F{x) f{x)dx. 
Die rechte Seite wird gelesen: „Integral f{x)dx“. Die Formel (*) 
ist völlig gleichbedeutend mit 
dF(x) = f(x)dx. 
Ist F i (x) ebenfalls eine Stammfunktion von f(x), so hat man 
dF 1 {x) ----- f{x)dx, 
also d{F 1 — F) = 0, 
h. t). F t - F = C (vgl. S. 37) oder F t = F + C. Hieraus ersieht 
man, daß es genügt eine einzige Stammfunktion von f{x) zu kennen. 
Jede andere ergibt sich aus ihr durch Addition einer Konstanten. Ferner 
bemerke man, daß F + C stets eine Stammfunktion von f{x) ist, wie 
man auch die additive Konstante C wählen mag. Man hat in der Tat 
d{F+ C) = dF = s{x)dx. 
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