88 HI. Integralrechnung 
allgemein das kürzere Symbol n 
I f(x)d x. 
Gelesen wird es: „Integral a bis x von f{x)dx“. 
Der Inhalt des Flächenstückes ahBA (Fig.18), oben begrenzt durch 
die Bildkurve von f(x), ist offenbar gleich F(p), d. h. gleich 
b 
J*f(x)dx, 
also gleich dem Zuwachs, den irgend ein Integral von f(x)dx beim 
Übergange von a zu b erfährt. Man nennt die Berechnung eines solchen 
Flächenstückes eine Quadratur. Eine Quadratur läßt sich nach dem 
Obigen stets ausführen, sobald man eine Stammfunktion der betreffen 
den Funktion, ein Integral des betreffenden Differentials, kennt. 
Um eine Anwendung dieser Quadraturmethode zu zeigen, wollen 
00 ^ 
wir das Flächenstück berechnen, welches durch die Parabel y = ^ 
und durch die Abszisse und Ordinate eines Parabelpunktes x, y be 
grenzt wird. Man findet 
s'x* , __ / x 3 \ x x 3 __ xy 
J 2k dX ~ \fik)o — 6k — IT ‘ 
0 
Die Parabel trennt also von dem Rechteck xy den dritten Teil ab. 
§ 36. Das Problem der Rektifikation. 
y = f{x) habe in dem Intervall (a, h) einschließlich der Grenzen 
eine stetige Ableitung. 
Wir wollen (a, 6) in p Teilintervalle zerlegen. Einer solchen Zer 
legung entspricht eine bestimmte Einteilung des Kurvenbogens AB 
(Fig. 19). Wenn wir jeden Teilbogen PQ durch seine Sehne PQ er 
setzen, so tritt an die Stelle des Bogens AB ein Sehnenzug. 
Wir wollen zuerst die Länge dieses Sehnenzuges berechnen. Offenbar 
ist PQ -- i/|/s-«p+{/-((j) 
Nach dem Mittelwertsatz hat man 
fiß) — f( a ) = (ß — «)