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III. Integralrechnung 
Danach ist 
sf'(ix)dx = —jf\x)d[h — x) 
b 
— [f'(x)ib — x)} h a +J\h — x)df' (», 
b. h. j f'(x)dx ----- (b — a)f'(a) + j f"{ x ){b — x)dx. 
Setzen wir dies in (*) ein, so ergibt sich 
b 
(**) f(b) = /■(«) + (p — a)f\a) +J"— x ) dx - 
Auf das hier auftretende Integral wenden wir wieder die partielle 
Integration an. Danach ist 
b h 
sf"(p)(P ~ x ) dx = — 2 sf"( x ) d (b — X Y 
b 
= — i{f"(x)(b - æ) 2 }*+ -}J[b — x)' 2 df"{x) 
b 
= /*"(«) + ij*1f'"i x )(b ~ x Y dx - 
Setzen wir dies in (**) ein, so erhalten wir 
(***) K b ) ==/(») + 0-«)r(a)+“-“ 2 —fip)+jJ f"'( x )(b-x) 2 dx 
und können jetzt wieder die partielle Integration anwenden usf. 
Auf diese Weise gelangen wir zu der Formel 
f{b) = f(p) + f'( a i + :y~ f"i a ) + ‘ • 
b 
+ { \n=w 
die als Taylorsche Formel (Taylorscher Lehrsatz) bezeichnet wird.