Historische Übersicht 96 
Wenn f{x) in {a, h) Ableitungen von beliebig hoher Ordnung be 
sitzt, so kann es sein, daß bei unendlich zunehmendem n 
b 
(t) ]im [^TYy.s f{n K x )(P - «O"" 1 *®} = 0 
wird. Dann können wir schreiben 
f(b) - f(a) + b -=£ f'(a) + rW + ■ ■ ■ 
Das ist die Taylorsche Reihe. 
Ersetzt man a durch 0 und h durch x, so entsteht die sogenannte 
Mac-Laurinsche Reihe 
fl» - m + Y s'(°) +'r~ä f'(°) + • • •■ 
die aber gegenüber der Taylorschen Reihe nichts Neues ist. Beispiele 
zur Mac-Laurinschen Reihe stehen in § 32. Nur sind wir dort auf 
anderem Wege dazu gelangt. Der Leser behandle noch cosæ und sin#. 
So oft man die Taylorsche oder Mac-Laurinsche Reihe anwendet, 
muß man sich überzeugen, daß die Bedingung (ch) erfüllt ist. 
Historische Übersicht?) 
Die Vorläufer von Leibniz und Newton. 
Die ersten Anfänge der Infinitesimalrechnung finden sich schon in 
den klassischen Arbeiten der großen griechischen Geometer. Insbesondere 
gilt das von der Integralrechnung. Archimedes (287—212) 
war im Besitze einer Methode, die im wesentlichen eine Integralrechnung 
ist. Das zeigen besonders die kürzlich von Heiberg neu aufgefundenen 
archimedischen Schriften. Archimedes benutzte seine Methode zur Be 
rechnung von Flüchen- und Rauminhalten sowie zur Bestimmung von 
Schwerpunkten. Berühmt ist seine Quadratur eines Parabelsegments 
sowie seine Kreis- und Kugelberechnung. 
Im Mittelalter sank die Mathematik von der Höhe, die die griechi 
schen Geometer erreicht hatten, völlig herab, und als man im 15.Jahr- 
1) Nach Cantors Vorlesungen über Geschichte der Mathematik und 
Zeuthens Geschichte der Mathematik im 16. und 17. Jahrhundert. Benutzt 
sind auch die beiden Schriften von Gerhardt „Die Entdeckung der Diffe 
rentialrechnung durch Leibniz" und „Die Entdeckung der höheren Analysis".