1F, sont 
LIVRE III. 
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B, et le 
les deux 
es valent 
leux res- 
Mais les 
x angles 
ou BAG ; 
lerpendi- 
e l’angle 
les ABC, 
chacun à 
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lifférente 
ais l’éga- 
oujours , 
Dnt deux 
de deux 
sommet, 
m pour- 
u-dedans 
es côtés 
é à ABC, 
cas de la 
PROPOSITION XXII. 
THÉORÈME. 
Les lignes AF r AG, etc., menées comme on vou- %. ns 
dra p ar I e sommet d’un triangle, divisent propor 
tionnellement la base BC et sa parallèle DE, de 
sorte qu’on a DI : BF : : IR : FG : : RL : GH , etc. 
Car, puisque DI est parallèle à BF, le triangle 
ADI est équiangle à ABF, et on a la proportion 
DI:BF AI: AF,* de même IK étant pai-allele à FG, 
on a AI; AF :: IK:FG ; donc, à cause du rapport 
commun AI: AF, on aura DI:BF ::IK:FG. On trou 
vera semblablement IK:FG :: KL; GH, etc.; donc la 
ligne DE est divisée aux points I, K, L, comme la 
base BC l’est aux points F, G, H. 
Corollaire. Donc , si BC était divisée en parties 
égales aux points F, G, H, la parallèle DE serait di 
visée de même en parties égales aux points I, K, L. 
PROPOSITION XXIII. • 
THÉORÈME. 
Si de Vangle droit A d’un triangle rectangle on %. 126 
abaisse la perpendiculaire A D sur Vhypoténuse ; 
i° Les deux triangles partiels A BD, A DG, 
seront semblables entre eux et au triangle total 
ABC ; 
2 0 Chaque côté AB ou AC sera moyen pro 
portionnel entre l’hypoténuse BC et le segment 
adjacent BD ou DC ; 
3° La perpendiculaire AD sera moyenne pro 
portionnelle entre les deux segments BD, DC. 
Car, i° le triangle BAD et le triangle BAG ont 
l’angle commun B ; de plus l’angle droit BDA est 
égal à l'angle droit BAG ; donc le troisième angle 
BAD de l’un est égal au troisième C de l’autre ; donc 
6.