ia3 GÉOMÉTRIE. 
centre C la perpendiculaire CA sur le côté MB, et joignez 
CB. 
Le cercle décrit du rayon CA est inscrit dans le quarré, 
et le cercle décrit du rayon CB est circonscrit à ce même 
quarré; le premier sera plus petit que le quarré, le second 
sera plus grand ; mais il s’agit de resserrer ces limites. 
Prenez CD et CE égales chacune à la moyenne propor 
tionnelle entre CA et CB, et joignez ED ; le triangle isoScele 
CDE sera équivalent au triangle CAB*; faites de même pour 
chacun des huit triangles qui composent le quarré, vous 
formerez ainsi un octogone régulier équivalent au quarré 
BMNP. Le cercle décrit du rayon CF, moyen propor- 
CA-J-CB . . 
tionnel entre CA et -, sera inscrit dans 1 octogone, et 
a 
le cercle décrit du rayon CD lui sera circonscrit. Ainsi le 
premier sera plus petit que le quarré donné et le second 
plus grand. 
Si on change de la même maniéré le triangle rectangle 
CDF en un triangle isoscele équivalent, on formera par ce 
moyen un polygone régulier de seize côtés, équivalent au 
quarré proposé. Le cercle inscrit dans ce polygone sera plus 
petit que le quarré, et le cercle circonscrit sera plus grand. 
On peut continuer ainsi jusqu’à ce que le rapport entre 
le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit 
différé aussi peu qu’on voudra de l’égalité. Alors l’un et 
l’autre cercles pourront être regardés comme équivalents au 
quarré proposé. 
Scholie. Voici à quoi se réduit la recherche des rayons 
successifs. Soit a le rayon du cercle inscrit dans l’un des 
polygones trouvés, h le rayon du cercle circonscrit au même 
polygone; soient a! et h' les rayons semblables pour le po 
lygone suivant qui a un nombre de côtés double. Suivant ce 
que nous avons démontré , h' est une moyenne proportion 
nelle entre a et ô, et a' est une moyenne proportionnelle 
a-^h * 
entre a et ; de sorte qu’on aura b' = axb, et a' ~ 
v 7 «: 
a-\-b 
donc les rayons a et b d’un polygone étant