LIVRE VI. 
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en effet, par construction, la base ABNO et son op 
posée IKPQ sont des rectangles ; les faces latérales en 
sont aussi, puisque les arêtes AI, OQ, etc., sont per 
pendiculaires au plan de la base; donc le solide AP 
est un parallélépipède rectangle. Mais les deux paral 
lélépipèdes AP, AL, peuvent être censés avoir même 
base ABKI et même hauteur AO ; donc ils sont équi 
valents ; donc le parallélépipède AG, qu’on avait d’a- fig. 210 
bord changé en un parallélépipède équivalent AL, se et ai1 * 
trouve de nouveau changé en un parallélépipède rec 
tangle équivalent AP, qui a la même hauteur AI, et 
dont la hase ABJNO est équivalente à la base ABCD. 
PROPOSITION XII. 
THÉORÈME. 
Deux parallélépipèdes rectangles AG, AL, gg.aia. 
qui ont la même base ABCD, sont entre eux 
comme leurs hauteurs AE, AI. 
Supposons d’abord que les hauteurs AE, AI, soient 
entre elles comme deux nombres entiers, par exemple, 
comme 15 est à 8. On divisera AE en i5 parties égales, 
dont AI contiendra 8, et par les points de division x y 
y, z y etc., on mènera des plans parallèles à la base. 
Ces plans partageront le solide AG en i5 parallélépi 
pèdes partiels qui seront tous égaux entre eux, comme 
ayant des bases égales et des hauteurs égales ; des bases 
égales, parce que toute section comme MIKL, faite 
dans un prisme parallèlement à sa base ABCD, est égale 
à cette base*; des hauteurs égales, parce que ces hau- * 7. 
teurs sont les divisions mêmes Ax, xy, xz, etc. Or, 
de ces i5 parallélépipèdes égaux, huit sont contenus 
dans AL ; donc le solide AG est au solide AL comme 
x5 est à 8, ou en général comme la hauteur AE est à 
la hauteur AL 
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