22<S GÉOMÉTRIE. 
cl ait de deux angles droits par le nombre des 
côtés du polygone moins deux. 
D’un même sommet A soient menées à tous les 
autres sommets les diagonales AG, AD ; le polygone 
ABCDE sera partagé en autant de triangles moins 
deux qu’il a de côtés. Mais la surface de chaque tri 
angle a pour mesure la somme de ses angles moins 
deux angles droits, et il est clair que Ta somme de tous 
les angles des triangles est égale à la somme des angles 
du polygone ; donc la surface du polygone est égale à 
la somme de ses angles diminuée d’autant de fois deux 
angles droits qu’il a de côtés moins deux. 
Scholie. Soit 5 la somme des angles d’un polygone 
sphérique, n le nombre de ses côtés - l’angle droit 
étant supposé l’unité , la surface du polygone aura 
pour mesure — 2 (n-—2) ou 5— 2tt-y /¡. 
PROPOSITION XXV. 
THÉORÈME. 
Soit S le nombre des angles solides d'un polyèdre, H le 
nombre de ses faces, A. le nombre de ses arêtes ; je dis qu'on 
aura toujours S -f- H= A+ 2. 
Prenez an-dedans du polyèdre un point d’où vous mène 
rez des lignes droites aux sommets de tous ses angles ; ima 
ginez ensuite que du même point comme centre on décrive 
une surface sphérique qui soit rencontrée par toutes ces 
lignes en autant de points ; joignez ces points par des arcs 
de grands cercles , de maniere à former sur la surface de la 
sphere des polygones correspondants et en même nombre 
avec les faces du polyèdre. Soit ABCDE un de ces polygones 
et soit n le nombre de ses côtés ; sa surface sera s-— nn -{-4, 
s étant la somme des angles A, B, C, D , E. Si on évalue 
semblablement la surface de chacun des autres polygones 
sphériques , et qu’on les ajoute toutes ensemble , on en con 
clura que leur somme, ou la surface de la sphere représentée 
par 8, est égale à la somme de tous les angles des polygones,