Ij 1V R E VII. 229
moins deux fols le nombre de leurs côtés , plus 4 pris autant
de fois qu’il y a de faces. Or, comme tous les angles qui
s’ajustent autour d’un même point A valent quatre angles
droits , la somme de tous les angles des polygones est égale
à 4 pris autant de fois qu’il y a d’angles solides ; elle est
donc égale à 4S. Ensuite le double du nombre des côtés AB ,
BC , CD , etc. est égal au quadruple du nombre des arêtes
ou —4A, puisque la même arête sert de côté à deux faces :
donc on aura 8 —4S — 4A + 4H; ou, en prenant le quart
de chaque membre, 2 — S — A -f- H ; donc S+H = A + 2.
Corollaire. Il suit' de là que la somme des angles plans
qui forment les angles solides d'un polyèdre est égale à au
tant de fois quatre angles droits qu'il y a d'unités dans S—2,
S étant le nombre des angles solides du polyèdre.
Car, si on considéré une face dont le nombre de côtés
est n , la somme des angles de cette face sera in—4 angles
droits*. Mais la somme de tous les 2/2, ou le double du nom- * 2 5, r.
bre des côtés de toutes les faces, —4A , et 4 pris autant de
fois qu’il y a de faces zzz 4H ; donc la somme des angles de
toutes les faces = [¡A — 4H- Or, parle théorème qu’on vient
de démontrer, on a A — HmS— 2, et par conséquent 4A
— 4H — 4 (S — 2). Donc la somme des angles plans , etc.
PROPOSITION XXVI.
THEOREME.
De tous les triangles sphériques formés avec deux côtés %• 2 7 2
donnés CB , CA , et un troisième à volonté, le plus grand
ABC est celui dans lequel l'angle C , compris par les côtés
donnés, est égal à la somme des deux autres angles A et B.
Prolongez les deux côtés AC , AB , jusqu’à leur rencontre
en D , vous aurez un triangle sphérique BCD , dans lequel
l’angle DBG sera aussi égal à la somme des deux autres
angles BDC , BCD : car BCD -J- BCA étant égale à deux
angles droits, ainsi que CBA + CBD , on a BCD -f- BCAzzz:
CBA-f-CBD \ ajoutant de part et d’autre BDC = BAC , 011
aura BCD + BCA-f- BDC = CBA -J- CBD -f- BAC. Or, par
hypothèse, BCA;=CBA-|-BAC; donc CED = BCD + BDC.
