LIVRE VII. 23 I 
La même démonstration et la même conclusion auraient 2 7 * 
lieu, si, en prenant toujours l’arc CA'ziCA, on faisait 
l’angle BCA'<BCA ; donc ABC est le triangle le plus grand 
entre tous ceux qui ont deux côtés donnés et le troisième à 
volonté. 
Scholie I. Le triangle ABC , le plus grand entre tous ceux fig. 241. 
qui ont deux côtés donnés CA, CB , peut être inscrit dans 
un demi-cercle dont la corde du troisième côté AB sera le 
diamètre ; car O étant le milieu de AB , on a vu que les dis 
tances OC , OB , sont égales ; donc la circonférence de petit 
cercle décrite du point O comme pôle et de l’intervalle OB 
passera par les trois points A, B , C. De plus la ligne droite 
BA est un diamètre de ce petit cercle ; car le centre qui doit 
se trouver à la fois dans le plan du petit cercle et dans le 
plan de l’arc de grand cercle* BOA, se trouvera nécessai- ^ 
rement dans l’intersection de ces deux plans qui est la droite cor. 4. 
BA, et ainsi BA. sera un diamètre. 
II. Dans le triangle ABC , l’angle C étant égal à la somme 
des deux autres A et B, il s’ensuit que la somme des trois 
angles est double de l’angle C. Mais cette somme est tou 
jours plus grande que deux angles droits*; donc l’angle C *19. 
est plus grand qu’un droit. 
III. Si l’on prolonge les côtés CB , CA , jusqu’à leur ren 
contre en E , le triangle BAE sera égal au quart de la surface 
de la sphere. Car l’angle E C =: ABC H- CAB ; donc les 
trois angles du triangle BAE équivalent aux quatre ABC , 
ABE , CAB, BAE dont la somme est égale à quatre angles 
droits ; donc la sui’face du triangle BAE* = 4 — 2=2, *24. 
qui est le quart de la surface de la spliere. 
IV. Il n’y aurait pas lieu à maximum si la somme des deux 
côtés donnés CA, CB , était égale ou plus grande que la 
demi-circonférence d’un grand cercle. Car puisque le trian 
gle ABC doit être inscrit dans un demi-cercle de la spliere, 
la somme des deux côtés CA, CB , sera moindre que la 
demi-circonférence BCA*, et par conséquent moindre que la * 3 
demi-circonférence d’un grand cercle. 
La raison pourquoi il n’y a pas de maximum , lorsque la 
somme des deux côtés donnés est plus grande que la demi- 
circonférence d’un grand cercle , c’est qu’alors le triangle