LIVRE VIII. 247 
polygone GHÎP, et pour hauteur H, lequel prisme 
sera circonscrit au cylindre dont CD est le rayon de 
la base. Cela posé, la solidité du prisme* est égale à 
sa base CHIP, multipliée par la hauteur H ; la base 
GH1P est plus petite que le cercle dont CA est le 
rayon : donc la solidité du prisme est plus petite que 
surf, CA X H. Mais surf. CA x H est, par hypothèse, 
la solidité du cylindre inscrit dans le prisme ; donc 
le prisme serait plus petit que le cylindre : or, au 
contraire, le cylindre est plus petit que le prisme, 
puisqu’il y est contenu ; donc il est impossible que 
surf CA X H soit la mesure du cylindre dont CD 
est le rayon de la base et H la hauteur 5 ou, en termes 
plus généraux, le produit de la hase d’un cylindre 
par sa hauteur ne peut mesurer un cylindre plus 
petit. 
Je dis en second lieu que ce même produit ne peut 
mesurer un cylindre plus grand; car, pour ne pas 
multiplier les figures, soit CD le rayon de la base du 
cylindre donné, et soit, s’il est possible, surf. CD X H 
la mesure d’un cylindre plus grand, par exemple, 
du cylindre dont CA est le rayon de la base et H la 
hauteur. 
Si on fait la même construction que dans le premier 
cas, le prisme circonscrit au cylindre donné aura 
pour mesure CHIP x H : l’aire GHIP est plus grande 
que surf. CD ; donc la solidité du prisme dont il 
s’agit est plus grande que surf CD x H : le prisme 
serait donc plus grand que le cylindre de même hau 
teur qui a pour base surf GA. Or, au contraire, le 
prisme est plus petit que le cylindre, puisqu’il y est 
contenu ; donc il est impossible que la base d’un cy 
lindre multipliée par sa hauteur soit la mesure d'un 
cylindre plus grand. 
Donc enfin la solidité d’un cylindre est égale au 
produit de sa base par sa hauteur. 
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