NOTE I. 
lignes semblables ; mais nous observerons qu'elle contient 
trois conditions superflues. Car, pour construire un poly 
gone dont le nombre des côtés est n, il faut d’abord con 
naître un côté, et ensuite avoir la position des sommets des 
angles situés hors de ce côté. Or, le nombre de ces angles 
est n—2 , et la position de chaque sommet exige deux don 
nées ; d’où il suit que le nombre total des données néces 
saires pour construire un polygone de n côtés est 1+2/2—4, 
ou 2n—3. Mais dans le polygone semblable il y a un côté 
à volonté ; ainsi le nombre de conditions pour qu’un poly 
gone soit semblable à un polygone donné, est in — 4. Or la 
définition ordinaire exige, i° que les angles soient égaux 
chacun à chacun, ce qui fait n conditions ; 2 0 que les côtés 
homologues soient proportionnels , ce qui fait n—1 condi 
tions. H y a donc en tout 2n—• 1 conditions , ce qui fait trois 
de trop. Pour obvier à cet inconvénient, on pourrait dé 
composer la définition en deux autres, de cette maniéré t 
i° Deux tiiangles sont semblables, lorsqu'ils ont deux 
angles égaux chacun à chacun. 
2 0 Deux polygones sont semblables lorsqu'on peut former 
dans l'un et dans l’autre un meme nombre de triangles sem 
blables chacun à chacun et semblablement disposés. 
Mais , pour que cette derniere définition ne contienne 
pas elle-même de conditions superflues , il faut que le 
nombre des triangles soit égal au nombre des côtés du po 
lygone moins deux ; ce qui peut avoir lieu de deux maniérés. 
On peut mener de deux angles homologues des diagonales 
aux angles opposés, alors tous les triangles formés dans 
chaque polygone auront un sommet commun, et leur somme 
sera égale au polygone ; ou bien, on peut supposer que tous 
les triangles formés dans un polygone, ont pour base com 
mune un côté du polygone, et pour sommets ceux des dif 
férents angles opposés à cette base. Dans l’un ou l’autre cas 
le nombre des triangles formés de part et d’autre étant 
n — 2 , les conditions de leur similitude seront au nombre 
de 2n—4 5 et la définition ne contiendra rien de superflu. 
Cette nouvelle définition étant posée, l’ancienne deviendra 
un théorème qu’on pourra démontrer immédiatement. 
Si la définition des figures rectilignes semblables est im-